Question

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Answer 1

$\huge{\ulcorner{\red{\sf{ Answer}}}}\rfloor$

♦ Given to simplify

$\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} +\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

$\star \textsf{By Rationalising denominator of}$

→$\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$= \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

$= \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{\sqrt{5}^2 -\sqrt{3}^2}$

$= \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5 - 3}$

$= \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2}$

$= \dfrac{5 + 3 + 2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}$

$= \dfrac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$

$= 4 + \sqrt{15}$ ....(i)

→$\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

$= \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

$= \dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{5}^2 -\sqrt{3}^2}$

$= \dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5 - 3}$

$= \dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{2}$

$= \dfrac{5 + 3 - 2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}$

$= \dfrac{8 - 2\sqrt{15}}{2}$

$= 4 - \sqrt{15}$ ....(ii)

$\star \textsf{Now adding (i) and (ii)}$

$= ( 4 + \sqrt{15}) + (4 - \sqrt{15})$

$= ( 4 + \cancel{\sqrt{15}} + 4 - \cancel{\sqrt{15}})$

$= 8$

$\star \boxed{\textsf{ So Answer = 8 }}$

Answer 2

$</p><p></p><p>\huge{\ulcorner{\red{\sf{ Answer}}}}\rfloor┌Answer⌋ </p><p></p><p>♦ Given to simplify</p><p></p><p>\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} +\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> + </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>\star \textsf{By Rationalising denominator of}⋆By Rationalising denominator of </p><p></p><p>→\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}= </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> × </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{\sqrt{5}^2 -\sqrt{3}^2}= </p><p>5</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p> </p><p>( </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> ) </p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5 - 3}= </p><p>5−3</p><p>( </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> ) </p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2}= </p><p>2</p><p>( </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> ) </p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{5 + 3 + 2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}= </p><p>2</p><p>5+3+2× </p><p>5</p><p> </p><p> × </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{8 + 2\sqrt{15}}{2}= </p><p>2</p><p>8+2 </p><p>15</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= 4 + \sqrt{15}=4+ </p><p>15</p><p> </p><p> ....(i)</p><p></p><p>→\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}= </p><p>5</p><p> </p><p> + </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> × </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{\sqrt{5}^2 -\sqrt{3}^2}= </p><p>5</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p>2</p><p> </p><p>( </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> ) </p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5 - 3}= </p><p>5−3</p><p>( </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> ) </p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{2}= </p><p>2</p><p>( </p><p>5</p><p> </p><p> − </p><p>3</p><p> </p><p> ) </p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{5 + 3 - 2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}= </p><p>2</p><p>5+3−2× </p><p>5</p><p> </p><p> × </p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= \dfrac{8 - 2\sqrt{15}}{2}= </p><p>2</p><p>8−2 </p><p>15</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>= 4 - \sqrt{15}=4− </p><p>15</p><p> </p><p> ....(ii)</p><p></p><p>\star \textsf{Now adding (i) and (ii)}⋆Now adding (i) and (ii) </p><p></p><p>= ( 4 + \sqrt{15}) + (4 - \sqrt{15})=(4+ </p><p>15</p><p> </p><p> )+(4− </p><p>15</p><p> </p><p> ) </p><p></p><p>= ( 4 + \cancel{\sqrt{15}} + 4 - \cancel{\sqrt{15}})=(4+ </p><p>15</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> +4− </p><p>15</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> ) </p><p></p><p>= 8=8 </p><p></p><p>\star \boxed{\textsf{ So Answer = 8 }}⋆ </p><p> So Answer = 8 </p><p>$