Question

PLEASE CAN YOU HELP ME

Answer 1

x=√a+1+√a-1/√a+1-√a-1

x  =(√a+1+√a-1) (√a+1+√a-1)/(√a+1-√a-1) (√a+1+√a-1)

x  = (√a+1+√a-1)²/(√a+1)²-(√a-1)²

x = (√a+1)²+(√a-1)²+2(√a+1)x(√a-1)/(a-1)-(a-1)

x = (a+1)+(a-1)+2√(a+1)(a-1)/a-1-a+1

x  = a+1+a-1+2√a²-1²/2

x  = 2a+2√a²-1/2

x =2(a+√a²-1)/2

x =a+√a²-1

given, x²-2ax+1=0

          (a+√a²-1)²-2a×a+√a²-1+1=0

           a²+(√a²-1)²+2a×√a²-1-2a×a+√a²-1+1=0

Answer 2

$\underline{\underline{\large{\mathfrak{Solution : }}}}$




$\underline{\textsf{Method 1 : }}$




$\mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{ \sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1} }{ \sqrt{a \: + \: 1} \: - \: \sqrt{a \: - \: 1} } }$




$\mathsf{ \implies \dfrac{x}{1} \: = \: \dfrac{ \sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1} }{ \sqrt{a \: + \: 1} \: - \: \sqrt{a \: - \: 1} } }$




$\textsf{Using Componendo and Dividendo : }$




$\mathsf{ \implies \dfrac{x \: + \: 1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{( \sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1} ) \: + \: (\sqrt{a \: + \: 1} \: - \: \sqrt{a \: - \: 1} )}{( \sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1} ) \: - \: ( \sqrt{a \: + \: 1} \: - \: \sqrt{a \: - \: 1} )} } \\ \\ \\ \mathsf{ \implies \dfrac{x \: + \: 1}{x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{ \sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \cancel{ \sqrt{a \: - \: 1} } \: + \: \sqrt{a \: + \: 1} \: - \: \cancel{ \sqrt{a \: - \: 1} }}{ \cancel{ \sqrt{a \: + \: 1} }\: + \: \sqrt{a \: - \: 1} \: - \: \cancel{\sqrt{a \: + \: 1} } \: + \: \sqrt{a \: - \: 1}} }$




$\mathsf{ \implies \dfrac{x \: + \: 1}{ x \: - \: 1} \: = \: \dfrac{ \cancel{2 }\sqrt{a \: + \: 1} }{ \cancel{2} \sqrt{a \: - \: 1} } } \\ \\ \\ \mathsf{ \implies \dfrac{x \: + \: 1}{ x \: - \: 1} \: = \: \sqrt{ \dfrac{a \: + \: 1}{a \: - \: 1} } }$




$\mathsf{ \implies { \left(\dfrac{x \: + \: 1}{x \: - \: 1} \right)}^{2} \: = \: \dfrac{a \: + \: 1}{a \: - \: 1} } \\ \\ \\ \mathsf{ \implies \dfrac{ \: {x}^{2} \: + \: 1 \: + \: 2x \: }{ \: {x}^{2} \: + \: 1 \: - \: 2x \: } \: = \: \dfrac{a \: + \: 1}{a \: - \: 1} }$





$\mathsf{ \implies( {x}^{2} \: + \: 1 \: + \: 2x)(a \: - \: 1) \: = \: ( {x}^{2} \: + \: 1 \: - \: 2x)(a \: + \: 1) }$




$\mathsf{ \implies \cancel{a {x}^{2} } \: - \: {x}^{2} \: + \: \cancel{a} \: - \: 1 \: + \: 2ax \: - \: \cancel{2x} \: = } \\ \mathsf{ \quad \cancel{a {x}^{2}} \: + \: {x}^{2} \: + \: \cancel{ a }\: + \: 1 \: - \: 2ax \: - \: \cancel{2x}}$




$\mathsf{ \implies - {x}^{2} \: - \: 1 \: + \: 2ax \: = \: {x}^{2} \: + \: 1 \: - \: 2ax} \\ \\ \\ \mathsf{ \implies \:0 \: = \: {x}^{2} \: + \: {x}^{2} \: - \: 2ax \: - \: 2ax \: + \: 1 \: + \: 1} \\ \\ \\ \mathsf{ \implies0 \: = \: 2 {x}^{2} \: - \: 4ax \: + \: 2} \\ \\ \\ \mathsf{ \implies 0 \: = \: 2( {x}^{2} \: - \: 2ax \: + \: 1)} \\ \\ \\ \mathsf{ \implies {x}^{2} \: - \: 2ax\: + \: 1 \: = \: \dfrac{0}{2} } \\ \\ \\ \mathsf{ \therefore \quad \: {x}^{2} \: - \: 2ax \: + \: 1 \: = \: 0}$




$\textsf{Q. What is Componendo and Dividendo ?} \\ \\ \mathsf{It \: states \: that \: if , \: \dfrac{a}{b} \: = \: \dfrac{c}{d}} \mathsf{ \: \: then, \: \dfrac{a \: + \: b}{a \: - \: b} \: = \: \dfrac{c \: + \: d}{c \: - \: d} \: .}$




$\underline{\textsf{Method 2 : }}$




$\mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{ \sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1} }{ \sqrt{a \: + \: 1} \: - \: \sqrt{a \: - \: 1} } }$




$\mathsf{Multiply \: the \: numerator \: and \: denominator \: by }\\ \mathsf{(\sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1}). }$




$\mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{ \sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1} }{ \sqrt{a \: + \: 1} \: - \: \sqrt{a \: - \: 1} } \: \times \: \dfrac{\sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1}}{\sqrt{a \: + \: 1} \: + \: \sqrt{a \: - \: 1}}}$




$\mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{( \sqrt{a \: + \: 1}) {}^{2} \: + \: {( \sqrt{a \: - \: 1} )}^{2} \: + \: 2 \sqrt{a \: + \: 1} \: \times \: \sqrt{a - \: 1} }{ { (\sqrt{a \: + \: 1} )}^{2} \: - \: {( \sqrt{a \: - \: 1} )}^{2} } }$




$\mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{a \: + \: \cancel{ 1 }\: + \: a \: - \: \cancel{ 1} \: + \: 2 \sqrt{ {a}^{2} \: - \: 1 } }{(a \: + \: 1) \: - \: (a \: - \: 1)} }$




$\mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{2a \: + \: 2 \sqrt{ {a}^{2} \: - \: 1} }{ \cancel{a }\: + \: 1 \: - \: \cancel{a} \: + \: 1} }$




$\mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{2a \: + \: 2 \sqrt{ {a}^{2} \: - \: 1} }{2} } \\ \\ \\ \mathsf{ \implies x \: = \: \dfrac{ \cancel{2}(a \: + \: \sqrt{ {a}^{2} \: - \: 1 \: } )}{ \cancel{2}} }$




$\mathsf{ \implies x \: = \: a \: + \: \sqrt{ {a}^{2} \: - \: 1} } \\ \\ \mathsf{ \implies x \: - \: a \: = \: \sqrt{ {a}^{2} \: - \: 1} } \\ \\ \mathsf{ \implies {(x \: - \: a)}^{2} \: = \: {a}^{2} \: - \: 1} \\ \\ \mathsf{ \implies {x}^{2} \: + \: \cancel{ {a}^{2} }\: - \: 2ax \: = \: \cancel{ {a}^{2}} \: - \: 1 } \\ \\ \mathsf{ \therefore \quad \: {x}^{2} \: - \: 2ax \: + \: 1 \: = \: 0 }$




$\boxed{\underline{\large{\mathsf{Proved \: !! }}}}$