Question

please give me step by step answer!​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

$\rm :\longmapsto\: {\bigg(81\bigg) }^{\dfrac{1}{ log_{5}(3) } } + {\bigg(27\bigg) }^{ log_{9}(36) } + {\bigg(3\bigg) }^{\dfrac{4}{ log_{7}(9) } }$

Consider,

$\rm :\longmapsto\: {\bigg(81\bigg) }^{\dfrac{1}{ log_{5}(3) } }$

We know,

$\boxed{ \sf{ log_{x}(y) \: = \: \frac{1}{ log_{y}(x) } }}$

So,

$\: \: \rm= \: \: {\bigg(81\bigg) }^{ log_{3}(5) }$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg( {3}^{4} \bigg) }^{ log_{3}(5) }$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg( {3}\bigg) }^{ 4 \: log_{3}(5) }$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg( {3}\bigg) }^{ \: log_{3}( {5}^{4} ) }$

$\: \: \rm= \: \: {5}^{4}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf{ \because\: {a}^{ log_{a}(x) } = x }}$

$\: \: \rm= \: \:625$

$\bf\implies \: {\bigg(81\bigg) }^{\dfrac{1}{ log_{5}(3) } } = 625 - - (1)$

Consider,

$\rm :\longmapsto\: {\bigg(27\bigg) }^{ log_{9}(36) }$

$\: \: \rm= \: \:\: {\bigg(27\bigg) }^{ log_{ {3}^{2} }( {6}^{2} ) }$

$\: \: \rm= \: \:\: {\bigg(27\bigg) }^{ log_{3}(6) }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf{ \because\: log_{ {x}^{y} }( {x}^{q} ) = \frac{q}{y} }}$

$\: \: \rm= \: \:\: {\bigg( {3}^{3} \bigg) }^{ log_{3}(6) }$

$\: \: \rm= \: \:\: {\bigg( {3}\bigg) }^{3 \: log_{3}(6) }$

$\: \: \rm= \: \:\: {\bigg( {3}\bigg) }^{ log_{3}( {6}^{3} ) }$

$\: \: \rm= \: \: {6}^{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf{ \because\: {a}^{ log_{a}(x) } = x }}$

$\: \: \rm= \: \:216$

$\bf\implies \:{\bigg(27\bigg) }^{ log_{9}(36) } = 216 - - (2)$

Consider,

$\rm :\longmapsto\: {\bigg(3\bigg) }^{\dfrac{4}{ log_{7}(9) } }$

We know,

$\boxed{ \sf{ log_{x}(y) \: = \: \frac{1}{ log_{y}(x) } }}$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg(3\bigg) }^{4 log_{9}(7)}$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg(3\bigg) }^{4 log_{ {3}^{2} }(7)}$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg(3\bigg) }^{4 \: \times \: \dfrac{1}{2} \: log_{ {3}}(7)}$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg(3\bigg) }^{2 \: log_{ {3}}(7)}$

$\: \: \rm= \: \: {\bigg(3\bigg) }^{ log_{ {3}}( {7}^{2} )}$

$\: \: \rm= \: \: {7}^{2}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf{ \because\: {a}^{ log_{a}(x) } = x }}$

$\: \: \rm= \: \:49$

$\bf\implies \: {\bigg(3\bigg) }^{\dfrac{4}{ log_{7}(9) } } = 49 - - - (3)$

Hence,

$\rm :\longmapsto\: {\bigg(81\bigg) }^{\dfrac{1}{ log_{5}(3) } } + {\bigg(27\bigg) }^{ log_{9}(36) } + {\bigg(3\bigg) }^{\dfrac{4}{ log_{7}(9) } }$

$\: \: \rm= \: \:625 + 216 + 49$

$\: \: \rm= \: \:890$

Additional Information :-

$\boxed{ \sf{logxy \: = \: logx \: + \: logy}}$

$\boxed{ \sf{log \frac{x}{y} \: = \: logx \: - \: logy}}$

$\boxed{ \sf{ log( {x}^{y} ) \: = \: y \: logx}}$

$\boxed{ \sf{ log_{x}(y) \: = \: \frac{logy}{logx} }}$