Question

Please help me with question no 24

Answer 1

To prove ---->

$\dfrac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{16 \: + 6 \sqrt{7} } \: \: - \: \sqrt{16 \: - \: 6 \sqrt{7} } } \: is \: rational$

Concept used ---->

1)

$\ ( \: a \: + \: b \: ) ^{2} \: = \: {a}^{2} \: + \: {b}^{2} \: + 2 \: a \: b$

2)

$\ (\:a\: - \:b\:)^{2}\:=\:{a}^{2}+\:{b}^{2}\:-2\:a\:b$

Solution----->

$now \\ 16 \: + \: 6 \sqrt{7} \: = 9 \: + \: 7 \: + \: 2 \: ( \: 3 \: ) \: ( \: \sqrt{7} \: ) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: ( \: 3 \: ) ^{2} \: + \: ( \sqrt{7} \: )^{2} \: + 2 \: ( \: 3 \: ) \: ( \: \sqrt{7} \: ) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: ( \: 3 \: + \sqrt{7} \:) ^{2}$

$now \\ 16 \: - \: 6 \sqrt{7} \: = \: 9 \: + \: 7 \: - \: 2 \: ( \: 3 \: ) \: ( \sqrt{7} ) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = {( \: 3 \: )}^{2} \: + \: ( \: \sqrt{7} \: ) ^{2} \: - \: 2 \: ( \: 3 \: ) \: ( \: \sqrt{7} \: ) \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = {( \:3 \: - \: \sqrt{7} \: ) }^{2}$

$now \: returning \: to \: origianl \: problem \\ \frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{16 \: + \: 6 \sqrt{7} } \: - \sqrt{16 \: - \: 6 \sqrt{7} } } \\ = > \dfrac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{( \: 3 \: + \: \sqrt{7} \: )^{2} } \: - \: \sqrt{( \: 3 \: - \: \sqrt{7} \: ) ^{2} } } \\ = > \dfrac{ \sqrt{7} }{( \: 3 \: + \: \sqrt{7} \: ) \: - \: ( \: 3 \: - \: \sqrt{7} \: ) } \\ = > \dfrac{ \sqrt{7} }{3 \: + \: \sqrt{7} \: - \: 3 \: + \: \sqrt{7} } \\ + 3 \: and \: - 3 \: cancel \: out \: each \: other \: in \: denominator \:and \: we \: get \\ = > \dfrac{ \sqrt{7} }{2 \: \sqrt{7} } \\ \sqrt{7} \:i s \:cancel \: out \: from \: numerator \: and \: denominator \: and \: we \: get \\ = > \dfrac{1}{2} \\ which \:is \: a \: rational \: number$

Answer 2

$\huge\boxed{\fcolorbox{violet}{violet}{Answer}}$