Question

please solve both 1 and 2
please
please
​

Answer 1

$\huge\tt{\underline{\underline{Solution:-}}}$

$(i) \: \: \: \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} }{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} } + \frac{ \sqrt{12} }{ \sqrt{3} - \sqrt{2} } \\ \\ = \: \frac{(3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})( \sqrt{3} - \sqrt{2}) + 2\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) }{(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) } \\ \\ = \frac{(3 \sqrt{6} - 6 - 6 + 2\sqrt{6} ) + ( 6\sqrt{6} + 12)}{(3 \sqrt{6} - 6 + 6 - 2 \sqrt{6} ) } \\ \\ = \frac{(5 \sqrt{6} - 12 + 6 \sqrt{6} + 12) }{ \sqrt{6} } \\ \\ = \: \frac{11 \sqrt{6} }{ \sqrt{6} } = 11$

$(ii) \: \frac{7 + 3 \sqrt{5} }{3 + \sqrt{5} } - \frac{7 - 3\sqrt{5} }{3 - \sqrt{5} } \\ \\ = \frac{(7 + 3 \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) - (7 - 3\sqrt{5})(3 + \sqrt{5} ) }{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5} ) } \\ \\ = \frac{21 - 7 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} - 15 -(21 + 7 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5} - 15) }{9 - 5} \\ \\ = \frac{21 - 7 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} - 15 - 21 - 7 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} + 15 }{4} \\ \\ = \frac{ - 14 \sqrt{5} + 18 \sqrt{5} }{4} = \frac{4 \sqrt{5} }{ 4 } = \sqrt{5}$

Answer 2

Question:

$(i) \dfrac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} }{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} } + \dfrac{ \sqrt{12} }{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} }$

$(ii) \dfrac{7 + 3 \sqrt{5} }{3 + \sqrt{5} } - \dfrac{7 - 3 \sqrt{5} }{3 - \sqrt{5} }$

Answer:

$(i) \: \bold{\:11\: } }$

$(ii) \: \bf{ \: \sqrt{5}\: }$

Step-by-step explanation:

$(i) \dfrac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} }{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} } + \dfrac{ \sqrt{12} }{ \sqrt{3} - \sqrt{2} }$

$\implies \dfrac{(3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})( \sqrt{3} - \sqrt{2}) + 2\sqrt{3} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) }{(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) }$

$\implies \dfrac{(3 \sqrt{6} - 6 - 6 + 2\sqrt{6} ) + ( 6\sqrt{6} + 12)}{(3 \sqrt{6} - 6 + 6 - 2 \sqrt{6} ) }$

$\implies \dfrac{(5 \sqrt{6} - 12 + 6 \sqrt{6} + 12) }{ \sqrt{6} }$

$\implies \dfrac{11 \sqrt{6} }{ \sqrt{6} }$

$\implies boxed{11 }$

$\underline{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

$(ii) \: \dfrac{7 + 3 \sqrt{5} }{3 + \sqrt{5} } - \frac{7 - 3\sqrt{5} }{3 - \sqrt{5} }$

$\longmapsto \dfrac{(7 + 3 \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) - (7 - 3\sqrt{5})(3 + \sqrt{5} ) }{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5} ) }$

$\longmapsto \dfrac{21 - 7 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} - 15 -(21 + 7 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5} - 15) }{9 - 5}$

$\longmapsto\dfrac{21 - 7 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} - 15 - 21 - 7 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} + 15 }{4}$

$\longmapsto \dfrac{ - 14 \sqrt{5} + 18 \sqrt{5} }{4}$

$\dfrac{4 \sqrt{5} }{ 4 }$

$\boxed{ \sqrt{5}}$

$\underline{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }$

Identities used :

$\bigstar \: {a}^{2} - {b}^{2} = (a - b)(a + b)$

Calculations :

$\star \: 3 \sqrt{2} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{2}$

$\star \: \sqrt{12} = 2 \sqrt{6}$

$\star \: \sqrt{12} \times \sqrt{6} = 2 \sqrt{3} \times \sqrt{2} \times \sqrt{6}$

$\star \: \sqrt{12} \times \sqrt{6} = 6 \sqrt{2}$

$\star \: \sqrt{6} \big( \sqrt{3} - \sqrt{2} \big ) = 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$

$\star \:2 \sqrt{3} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}$