Question

Pls solve the trigonometry question

Answer 1

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: QUESTION\: \: } \mid}}}}}$

$\sf{Prove \: \: that, } \\ \\ \huge{ \sf{\frac{cos {}^{2}A + tan {}^{2}A - 1 }{sin {}^{2}A } = tan {}^{2}A } }$

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION\: \: } \mid}}}}}$

$\tt{ L.H.S. = \frac{cos {}^{2}A + tan {}^{2}A - 1 }{sin {}^{2}A }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{cos {}^{2}A + \frac{sin {}^{2} A}{cos {}^{2} A} - 1 }{sin {}^{2}A }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{cos {}^{2}A + \frac{sin {}^{2} A}{cos {}^{2} A} - (sin {}^{2}A + cos {}^{2}A ) }{sin {}^{2}A } }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \cancel{cos {}^{2}A} + \frac{sin {}^{2} A}{cos {}^{2} A} - sin {}^{2}A - \cancel{ cos {}^{2}A } }{sin {}^{2}A }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \frac{sin {}^{2} A - sin {}^{2}A.cos {}^{2} A}{cos {}^{2} A} }{sin {}^{2}A } }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{sin {}^{2} A - sin {}^{2} A.cos {}^{2} A}{cos {}^{2}A } \times \frac{1}{sin {}^{2}A }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{sin {}^{2} A - sin {}^{2} A.cos {}^{2} A}{cos {}^{2}A .sin {}^{2} A} }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{sin {}^{2}A \: (1 -cos {}^{2}A ) }{cos {}^{2}A.sin {}^{2}A }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{sin {}^{2} A \: . \: \cancel{sin {}^{2} A}}{cos {}^{2}A \: . \: \cancel{sin {}^{2} A } }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{sin {}^{2} A}{cos {}^{2} A}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= tan {}^{2} A }\\ \\\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = R.H.S.}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \text{ \underline{ \: Hence, proved. }}$

$\underline{ \text{ \: FORMULA \: \: USED :- \: }} \\ \\ \\ \bold{1. \: \frac{sin \: \theta}{cos \: \theta} = tan \: \theta }\\ \\ \\ \bold{2. \: sin {}^{2} \theta + cos {}^{2} \theta = 1}$