Preuve que la racine 2 est irrationnelle.!
Answers
Soit √2 un nombre rationnel
Par conséquent, √2 = p / q [p et q sont dans leurs moindres termes, c'est-à-dire HCF de (p, q) = 1 et q ≠ 0
En quadrature des deux côtés, nous obtenons
p² = 2q² ... (1)
Clairement, 2 est un facteur de 2q²
⇒ 2 est un facteur de p² [puisque, 2q² = p²]
⇒ 2 est un facteur de p
Soit p = 2 m pour tout m (où m est un entier positif)
Au carré des deux côtés, nous obtenons
p² = 4 m² ... (2)
De (1) et (2), on obtient
2q² = 4m² ⇒ q² = 2m²
De toute évidence, 2 est un facteur de 2 m²
⇒ 2 est un facteur de q² [puisque q² = 2m²]
⇒ 2 est un facteur de q
Ainsi, nous voyons que p et q ont tous deux un facteur 2 commun, ce qui est une contradiction que H.C.F. de (p, q) = 1
Par conséquent, notre supposition est fausse
Par conséquent, √2 n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre irrationnel.
Soit √2 un nombre rationnel
Par conséquent, √2 = p / q [p et q sont dans leurs moindres termes, c'est-à-dire HCF de (p, q) = 1 et q ≠ 0
En quadrature des deux côtés, nous obtenons
p² = 2q² ... (1)
Clairement, 2 est un facteur de 2q²
⇒ 2 est un facteur de p² [puisque, 2q² = p²]
⇒ 2 est un facteur de p
Soit p = 2 m pour tout m (où m est un entier positif)
Au carré des deux côtés, nous obtenons
p² = 4 m² ... (2)
De (1) et (2), on obtient
2q² = 4m² ⇒ q² = 2m²
De toute évidence, 2 est un facteur de 2 m²
⇒ 2 est un facteur de q² [puisque q² = 2m²]
⇒ 2 est un facteur de q
Ainsi, nous voyons que p et q ont tous deux un facteur 2 commun, ce qui est une contradiction que H.C.F. de (p, q) = 1
Par conséquent, notre supposition est fausse
Par conséquent, √2 n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre irrationnel.