Question

Preuve que la racine 2 est irrationnelle.!

Answer 1

Soit √2 un nombre rationnel

Par conséquent, √2 = p / q [p et q sont dans leurs moindres termes, c'est-à-dire HCF de (p, q) = 1 et q ≠ 0

En quadrature des deux côtés, nous obtenons

p² = 2q² ... (1)

Clairement, 2 est un facteur de 2q²

⇒ 2 est un facteur de p² [puisque, 2q² = p²]

⇒ 2 est un facteur de p

Soit p = 2 m pour tout m (où m est un entier positif)

Au carré des deux côtés, nous obtenons

p² = 4 m² ... (2)

De (1) et (2), on obtient

2q² = 4m² ⇒ q² = 2m²

De toute évidence, 2 est un facteur de 2 m²

⇒ 2 est un facteur de q² [puisque q² = 2m²]

⇒ 2 est un facteur de q

Ainsi, nous voyons que p et q ont tous deux un facteur 2 commun, ce qui est une contradiction que H.C.F. de (p, q) = 1

Par conséquent, notre supposition est fausse

Par conséquent, √2 n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre irrationnel.

Answer 2

Lemme Used :

• Pour tout entier a, si a2 est pair, alors a est pair.

• Démonstration par contraposition : Montrons que, si a est impair, alors a2 est impair. Posons a = 2 n + 1.

• Alors a2 = (2 n + 1)2 = 4 n2 + 4 n + 1 qui est impair.

• Puisque a2 est pair, a est pair et a = 2 p où p est un entier positif.

$\tt{\purple{-------}}$

Supposons par l'absurde que √2 soit rationnel : alors où a, b sont des nombres entiers positifs. Il est possible de simplifier la fraction jusqu'à ce que a, b soient premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction ne puisse plus être simplifiée).

Puisque b2 est pair, b est pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction par 2, ce qui contredit l'hypothèse que a, b sont premiers entre eux.

Puisque l'hypothèse « √2 est rationnel » conduit à une contradiction, c'est le contraire qui est vrai, à savoir « √2 est irrationnel ».

$\tt{\purple{-------}}$

Formulae :

$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$

$2 {b}^{2} = {a}^{2}$

Puisque a2 est pair, a est pair et a = 2 p où p est un entier positif.

$2 {b}^{2} = {(2p)}^{2} \\ \\ = > {b}^{2} = 2 {p}^{2}$

$\tt{\purple{-------}}$