French, asked by Saby123, 9 months ago

Prouvez que la racine deux irrationelle.​

Answers

Answered by AdorableMe
45

Soit √2 un nombre rationnel

Par conséquent, √2 = p / q [p et q sont dans leurs moindres termes, c'est-à-dire HCF de (p, q) = 1 et q ≠ 0

En quadrature des deux côtés, nous obtenons

p² = 2q² ... (1)

Clairement, 2 est un facteur de 2q²

⇒ 2 est un facteur de p² [puisque, 2q² = p²]

⇒ 2 est un facteur de p

Soit p = 2 m pour tout m (où m est un entier positif)

Au carré des deux côtés, nous obtenons

p² = 4 m² ... (2)

De (1) et (2), on obtient

2q² = 4m² ⇒ q² = 2m²

De toute évidence, 2 est un facteur de 2 m²

⇒ 2 est un facteur de q² [puisque q² = 2m²]

⇒ 2 est un facteur de q

Ainsi, nous voyons que p et q ont tous deux un facteur 2 commun, ce qui est une contradiction que H.C.F. de (p, q) = 1

Par conséquent, notre supposition est fausse

Par conséquent, √2 n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre irrationnel.

Answered by Nandzzz
5

Explanation:

Let √2 be a rational number 

Therefore, √2= p/q  [ p and q are in their least terms i.e., HCF of (p,q)=1 and q ≠ 0

On squaring both sides, we get 

                   p²= 2q²                                                                                    ...(1)

Clearly, 2 is a factor of 2q²

⇒ 2 is a factor of p²                                                                    [since, 2q²=p²]

⇒ 2 is a factor of p

 Let p =2 m for all m ( where  m is a positive integer)

Squaring both sides, we get 

            p²= 4 m²                                                                                          ...(2)

From (1) and (2), we get 

           2q² = 4m²      ⇒      q²= 2m²

Clearly, 2 is a factor of 2m²

⇒       2 is a factor of q²                                                      [since, q² = 2m²]

⇒       2 is a factor of q 

Thus, we see that both p and q have common factor 2 which is a contradiction that H.C.F. of (p,q)= 1

     Therefore, Our supposition is wrong

Hence √2 is not a rational number i.e., irrational number

PLZZ...PLZZ MARK ME AS BRAINLIST....

TQ...FOR ASKING THIS QUESTION....

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