Question

Prove 1+sinA/cotA+cosA/1+sinA=2secA​

Answer 1

Given

$\bf \: \dfrac{1 + sin \theta}{cos \theta} + \dfrac{cos \theta}{1 + sin \theta} = 2sec \theta$

To Prove

LHS=RHS

Concept used

$\begin{cases} \bf {sin}^{2} \theta + {cos}^{2} \theta = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{1} \\ \\ { \rm(a + b)}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} + 2ab \: \: \: \: \boxed{2} \\ \\ \bf \: sec \theta = \dfrac{1}{cos \theta} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{3} \end{cases}$

Proof

LHS

$\rm\: \dfrac{1 + sin \theta}{cos \theta} + \dfrac{cos \theta}{1 + sin \theta} \\ \\ \implies \rm \frac{ { \rm(1 + sin \theta)}^{2} + {cos}^{2} \theta}{cos \theta(1 + sin \theta)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf using \: identity \boxed{ \rm2}\\ \\ \implies \rm \: \frac{1 + {sin}^{2} \theta + 2sin \theta + {cos}^{2} \theta }{cos \theta(1 + sin \theta)} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf using \: identity \boxed{1} \: \\ \\ \implies \rm \: \frac{1 + 1 + 2sin \theta}{cos \theta(1 + sin \theta)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \rm \frac{2 + 2sin \theta}{cos \theta(1 + sin \theta)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf \: taking \: common \\ \\ \implies \rm \: \frac{2(1 + sin \theta)}{cos \theta(1 + sin \theta)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \rm \: \frac{2}{cos \theta} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \implies \underline{ \boxed{ \huge \bf LHS = 2sec \theta}} \\ \bf using \boxed{3}</h3><h3> \\ \underline{ \boxed{ \huge \bf RHS = 2sec \theta}}$

LHS=RHS

hence proved