prove:(cosA-sinA)(1+tanA)/2cos2A-1 = secA
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Answer:
Given LHS = (cosA - sinA)(1 + tan A)/2 cos^2A.
\frac{(1 + tan A) ( cos A - sinA)}{2 cos^2A - 1}
2cos
2
A−1
(1+tanA)(cosA−sinA)
\frac{(1 + tan A)(cosA-sinA)}{-(cos^2A + sin^2A) + 2cos^2A}
−(cos
2
A+sin
2
A)+2cos
2
A
(1+tanA)(cosA−sinA)
\frac{(1 + tan A)(cosA-sinA)}{-cos^2A - sin^2A + 2cos^2A }
−cos
2
A−sin
2
A+2cos
2
A
(1+tanA)(cosA−sinA)
\frac{(1 + tanA)(cos A - sinA)}{cos^2A - sin^2A}
cos
2
A−sin
2
A
(1+tanA)(cosA−sinA)
We know that a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\frac{(1 + tanA)(cosA - sinA)}{(cosA - sinA)(cosA + sinA)}
(cosA−sinA)(cosA+sinA)
(1+tanA)(cosA−sinA)
\frac{(1 + tanA)}{cosA+sinA}
cosA+sinA
(1+tanA)
\frac{1 + \frac{sinA}{cosA} }{cosA + sinA}
cosA+sinA
1+
cosA
sinA
\frac{ \frac{cosA + sinA}{cosA} }{cosA + sinA}
cosA+sinA
cosA
cosA+sinA
\frac{1}{cosA}
cosA
1
secA.
Solving the numerator
⇒ (cosA - sinA)(1 + tanA)
⇒ (cosA - sinA)(1 + sinA/cosA)
⇒ (cosA - sinA)(cosA + sinA)/cosA
Using,
(a + b)(a - b) = a² - b² & 1/cosA = secA
⇒ (cos²A - sin²A)secA
Using, sin² = 1 - cos²A
⇒ (cos²A - (1 - cos²A))secA
⇒ (cos²A - 1 + cos²A)secA
⇒ (2cos²A - 1)secA
Therefore,
(cosA-sinA)(1+tanA)/(2cos²A-1)
⇒ (2cos²A - 1)secA / (2cos²A - 1)
⇒ secA proved