Question

Prove thaf ( a-b-c 2a 2a
2b b-c-a 2b = (a+b+c)*3
2c 2c c-a-b)

Answer 1

$\underline{\textsf{To prove:}}$

$\mathsf{\left|\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-c-a&2b\\2c&2c&c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^3}$

$\underline{\textsf{Solution:}}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{\left|\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-c-a&2b\\2c&2c&c-a-b\end{array}\right|}$

$\textsf{Apply}\;\mathsf{R_1\implies\,R_1+R_2+R_3}$

$\mathsf{=\left|\begin{array}{ccc}a+b+c&a+b+c&a+b+c\\2b&b-c-a&2b\\2c&2c&c-a-b\end{array}\right|}$

$\textsf{Take a+b+c common from first row}$

$\mathsf{=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\2b&b-c-a&2b\\2c&2c&c-a-b\end{array}\right|}$

$\textsf{Apply}\;\mathsf{C_1\implies\,C_1-C_2,\;C_2\implies\,C_2-C_3}$

$\mathsf{=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}0&0&1\\a+b+c&-(a+b+c)&2b\\0&a+b+c&c-a-b\end{array}\right|}$

$\textsf{Expanding along first row, we get}$

$\mathsf{=(a+b+c)[0-0+1((a+b+c)^2-0)]}$

$\mathsf{=(a+b+c)(a+b+c)^2}$

$\mathsf{=(a+b+c)^3}$

$\therefore\mathsf{\left|\begin{array}{ccc}a-b-c&2a&2a\\2b&b-c-a&2b\\2c&2c&c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^3}$