Question

Prove that 1/(secA-tanA) - 1/cosA = 1/cosA -1/ secA + tanA

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

Consider 1/(secA-tanA) - 1/cosA

Multiplying the first term Numerator and denominator by (secA+tanA), we get

=(secA + tanA)/(secA+tanA)(secA-tanA) -1/cosA

SInce sec²A - tan²A = 1, we get

(secA + tan A) - secA

= tanA

Now adding and subtracting sec A  we get,

tanA-secA +secA

=secA - (secA-tanA)

We can write (secA-tanA) as 1/secA+tanA

=secA-1/(secA+tanA)

=1/cosA-1/secA+tanA

=R.H.S

Answer 2

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION \: \: } \mid}}}}}$

$\underline{ \text{ \pink{ \: To \: Prove :- \: }}} \\ \\ \boxed{\bold{\frac{1}{secA - tanA} - \frac{1}{cosA} = \frac{1}{cosA} - \frac{1}{secA + tanA}}}$

$\tt{ \red{L.H.S. = \frac{1}{secA - tanA} - \frac{1}{cosA}} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \blue{= \frac{1 \times (secA + tanA)}{(secA - tanA)(secA + tanA)} - \frac{1}{cosA}}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \pink{ = \frac{secA + tanA}{sec {}^{2} A - tan {}^{2} A} - \frac{1}{cosA} }}\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \green{= \frac{secA + tanA}{1} - \frac{1}{cosA} }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= secA + tanA - \frac{1}{cosA} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \purple{= secA + tanA - secA} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \red{ = secA - secA + tanA ) }}\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \purple{= secA - (secA - tanA)}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= secA - \{ \frac{(secA - tanA)(secA + tanA)}{secA + tanA} \}}\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \green{= secA - (\frac{sec {}^{2} A - tan {}^{2} A}{secA + tanA} ) }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \pink{= secA - \frac{1}{secA + tanA}} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \blue{= \frac{1}{cosA} - \frac{1}{secA + tanA} }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \red{=R.H.S. }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \sf{ \: Hence \: \: proved. \: }}$

$\star \: \: \: \underline{ \text{\pink{ FORMULA \: USED} :- }} \\ \\ \bold{1. \: (secA + tanA)(secA - tanA) = sec {}^{2} A - tan {}^{2} A} \\ \\ \bold{2. \: sec {}^{2} A - tan {}^{2} A = 1} \\ \\ \bold{3. \: \frac{1}{cosA} = secA }$