Question

prove that √3+√5 is an irrational number​

Answer 1

Solution :

$\sf{Let \sqrt{3} + \sqrt{5} \: be \: a rational \: number}$

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$\longrightarrow \sf{\sqrt{3} + \sqrt{5} = \dfrac{a}{b}}$

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$\sf{Where \: a \: and \: b \: are \: co \: prime \: numbers \: and \: b \: \neq 0}$

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$\longrightarrow \sf{\sqrt{3} = \dfrac{a}{b} - \sqrt{5}}$

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$\longrightarrow \sf{\sqrt{3} = \dfrac{a \sqrt{5} - 1}{b \sqrt{5}}}$

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$\sf{Square \: Both \: Sides}$

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$\longrightarrow \sf{(\sqrt{3})^2 = \bigg( \dfrac{a \sqrt{5} - 1}{b \sqrt{5}} \bigg) ^2}$

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$\longrightarrow \sf{3 = \dfrac{(a \sqrt{5} - 1)^2}{b^2 5}}$

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$\longrightarrow \sf{3 = \dfrac{5a + 1 - 2a \sqrt{5}}{b^2 5}}$

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Hence, $\sf{\sqrt{5} + \sqrt{3} \: is \: an \: irrational \: number}$