Question

prove that (7+√3)/√2 is an irrational number​

Answer 1

$\underline{\underline{\huge{\gray{\tt{\textbf Answer :-}}}}}$

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ To \: Prove :-}}}}$

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• $\sf \dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 } \: is \: irrational$

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Proof :-}}}}$

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Let us assume (7+√3)/√2 to be a rational number thus it can be expressed in the form of rational number

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Thus ,

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➠ $\sf \dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 } = \dfrac { p } { q }$

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Where ,

• q ≠ 0
• p & q are integers [ Rational ]

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So,

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: ➜ $\sf \dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 } = \dfrac { p } { q }$

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⟮ Squaring both side ⟯

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: ➜ $\sf \bigg(\dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 }\bigg)^2 = \bigg(\dfrac { p } { q }\bigg)^2$

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: ➜ $\sf \bigg(\dfrac { (7 + \sqrt 3) ^2 } { (\sqrt 2) ^2 }\bigg) = \bigg(\dfrac { p ^2 } { q^2 }\bigg)$

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: ➜ $\sf \bigg(\dfrac { (7^2 + (\sqrt 3)^2 + 2(7)(\sqrt 3)) } { 2}\bigg) = \bigg(\dfrac { p ^2 } { q^2 }\bigg)$

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: ➜ $\sf (7^2 + (\sqrt 3)^2 + 2(7)(\sqrt 3)) = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 }$

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: ➜ $\sf (49 + 3 + 14(\sqrt 3) = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 }$

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: ➜ $\sf (52 + 14(\sqrt 3) = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 }$

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: ➜ $\sf 14\sqrt 3 = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 } - 52$

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: ➜ $\sf 14\sqrt3 = \dfrac { 2p ^2 - 52q ^2 } { q^2 }$

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: : ➨ $\sf \sqrt 3 = \dfrac { 2p ^2 - 52q ^2 } { 14q^2 }$

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Here in RHS p & q are rational number as we assumed above. Also 2, 14 , 52 are rational number thus the RHS is rational

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Hence the LHS need to be rational too as LHS = RHS but this contradicts the fact that √3 is an irrational number , this contradiction has been arisen due to our wrong assumption that (7+√3)/√2 is a rational number

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• Hence 7+√3)/√2 is an irrational number

Answer 2

$\underline{\underline{\huge{\gray{\tt{\textbf Answer :-}}}}}$ ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ To \: Prove :-}}}}$

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$\sf \dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 } \: is \: irrational$

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$\sf\large\bold{\orange{\underline{\blue{ Proof :-}}}}$

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Let us assume (7+√3)/√2 to be a rational number thus it can be expressed in the form of rational number

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Thus ,

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➠ $\sf \dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 } = \dfrac { p } { q }$

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Where ,

q ≠ 0

p & q are integers [ Rational ]

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So,

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: ➜ $\sf \dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 } = \dfrac { p } { q }$

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⟮ Squaring both side ⟯

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: ➜ $\sf \bigg(\dfrac { 7 + \sqrt 3 } { \sqrt 2 }\bigg)^2 = \bigg(\dfrac { p } { q }\bigg)^2$

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: ➜ $\sf \bigg(\dfrac { (7 + \sqrt 3) ^2 } { (\sqrt 2) ^2 }\bigg) = \bigg(\dfrac { p ^2 } { q^2 }\bigg)$

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: ➜ $\sf \bigg(\dfrac { (7^2 + (\sqrt 3)^2 + 2(7)(\sqrt 3)) } { 2}\bigg) = \bigg(\dfrac { p ^2 } { q^2 }\bigg)$

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: ➜ $\sf (7^2 + (\sqrt 3)^2 + 2(7)(\sqrt 3)) = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 }$

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: ➜ $\sf (49 + 3 + 14(\sqrt 3) = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 }$

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: ➜ $\sf (52 + 14(\sqrt 3) = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 }$

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: ➜ $\sf 14\sqrt 3 = \dfrac { 2p ^2 } { q^2 } - 52$

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: ➜ $\sf 14\sqrt3 = \dfrac { 2p ^2 - 52q ^2 } { q^2 }$

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: : ➨ $\sf \sqrt 3 = \dfrac { 2p ^2 - 52q ^2 } { 14q^2 }$

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Here in RHS p & q are rational number as we assumed above. Also 2, 14 , 52 are rational number thus the RHS is rational

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Hence the LHS need to be rational too as LHS = RHS but this contradicts the fact that √3 is an irrational number , this contradiction has been arisen due to our wrong assumption that (7+√3)/√2 is a rational number

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Hence 7+√3)/√2 is an irrational number