Question

prove that cos A / 1+tan A - sin A / 1 + cut A = cos A - sin A

Answer 1

$l.h.s = \frac{cos \: a}{1 + tan \: a} - \frac{sin \: a}{1 + cot \: a} \\ = \frac{cos \: a}{1 + \frac{sin \: a}{cos \: a} } - \frac{sin \: a}{1 + \frac{cos \: a}{sin \: a} } \\ = \frac{cos \: a}{ \frac{cos \: a + sin \: a}{cos \: a} } - \frac{sin \: a}{ \frac{sin \: a + cos \: a}{sin \: a} } \\ = (cos \: a \times \frac{cos \: a}{cos \: a + sin \: a} ) - (sin \: a \times \frac{sin \: a}{sin \: a + cos \: a} \\ = \frac{ {cos}^{2}a }{sin \: a + cos \: a } - \frac{ {sin}^{2} a }{sin \: a + cos \: a} \\ = \frac{ {cos}^{2}a - {sin}^{2}a }{sin \: a + cos \: a} \\ = \frac{(cos \: a + sin \: a)(cos \: a - sin \: a)}{sin \: a + cos \: a} \\ =( cos \: a - sin \: a) = r.h.s$
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