Question

prove that cos A/1-tanA+sinA/1-cotA=sinA+cosA​

Answer 1

Answer:

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LHS

=  cosA/(1-tanA)+sinA/(1-cotA)

=  cos A/(1 - sin A/cos A) + sin A/(1 - cos A/sin A)

=  cos²A/ (cos A - sin A) + sin²A / (sin A - cos A)

=  cos²A/ (cos A - sin A) - sin²A / (cos A - sin A)

=  (cos ² A - sin ² A) / (cos A - sin A)

=  (cos A - sin A)(cos A + sin A) / (cos A - sin A)

=  cos A + sin A i.e RHS

HENCE PROVED

                                                                                                                                 

Answer 2

$\bold{TO \: PROVE}$

$\boxed{\mathsf{\dfrac{cos \: A}{1 - tan \: A} + \dfrac{sin \: A}{1 - cot\: A} = sin \: A + cos \: A}}$

$\textsf{On \: taking \: left \: hand \: side}$

$\mathsf{\dfrac{cos \: A}{1 - tan \: A} + \dfrac{sin \: A}{1 - cot\: A}}$

$\textsf{Since ,\: we \: know}$

$\boxed{\mathsf{\bigstar tan \: A = \dfrac{sin \: A}{cos \: A}}}$

$\boxed{\mathsf{\bigstar cot \: A = \dfrac{cos \: A}{sin \: A}}}$

$\mathsf{\dfrac{cos \: A}{1 - \dfrac{sin \: A}{cos \: A}} + \dfrac{sin \: A}{1 - \dfrac{cos \: A}{sin \: A}}}$

$\mathsf{\dfrac{cos \: A}{ \dfrac{sin \: A - cos \: A}{cos \: A}} + \dfrac{sin \: A}{\dfrac{sin \: A - cos \: A}{sin \: A}}}$

$\mathsf{\dfrac{cos \: A \times cos \: A}{sin \: A - cos \: A} + \dfrac{sin \: A \times sin \: A}{cos \: A - sin \: A}}$

$\mathsf{\dfrac{cos^{2}A}{sin \: A - cos \: A} + \dfrac{sin^{2}}{cos \: A - sin \: A}}$

$\textsf{On \: taking \: minus \: common}$

$\mathsf{\dfrac{cos^{2}A}{sin \: A - cos \: A} - \dfrac{sin^{2} \: A}{{cos \: A - sin \: A}}}$

$\mathsf{\dfrac{cos^{2} \: A - sin^{2} \: A}{cos \: A - sin \: A}}$

$\textsf{By \: identity }$

$\boxed{\mathsf{\bigstar (a^{2} - b ^{2} = (a - b)(a + b)}}$

$\mathsf{ \dfrac{(cos \: A + sin \: A) (cos \: A - sin \: A)}{cos \: A - sin \: A}}$

$\mathsf{ \dfrac{(cos \: A + sin \: A) \times \cancel{(cos \: A - sin \: A)}}{\cancel{(cos \: A - sin \: A)}}}$

$\large \mathsf{(cos \: A + sin \: A) = R. H. S}$

$\boxed{\mathcal{HENCE \: PROVED}}$