Question

prove that cos theta * cos 2 theta * cos 4 theta * cos 8 theta = sin 16 theta / 16 sin theta

Answer 1

(instead of θ, I use A)

Answer:

Step-by-step explanation:

Given :

To prove that :

$cos \ A \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A = \frac{sin \ 16A}{16 \ \ sin \ A}$

Proof :

We know that,

$sin \ 2A \ = 2 \ sin \ A \ cos \ A$

____

LHS = $cos \ A \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A$

(Multiplying & Dividing by 2 sin A)

⇒ $\frac{2 \ sin \ A \ \times \ cos \ A \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{(2 \ sin \ A \ \times \ cos \ A) \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{sin \ 2A \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \ sin \ A}$

(Multiplying & Dividing by 2 )

⇒ $\frac{2 \times \ sin \ 2A \ \times \ cos \ 2A \ \times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \times \ 2 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{(2 \times \ sin \ 2A \ \times \ cos \ 2A) \ \times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \times \ 2 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{ sin \ 4A \ \times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{4 \ sin \ A}$

(Multiplying & Dividing by 2 )

⇒ $\frac{2 \times \ sin \ 4A \ \times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \times \ 4 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{(2 \times \ sin \ 4A \ \times \ cos \ 4A) \ \times \ cos \ 8A}{2 \times \ 4 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{ sin \ 8A \ \times \ cos \ 8A}{8 \ sin \ A}$

(Multiplying & Dividing by 2 )

⇒ $\frac{2 \times \ sin \ 8A \ \times \ cos \ 8A}{2 \times \ 8 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{(2 \times \ sin \ 8A \ \times \ cos \ 8A)}{2 \times \ 8 \ sin \ A}$

⇒ $\frac{ sin \ 16A }{16 \ sin \ A}$ = RHS

Hence, proved,.

Answer 2

Answer:

• cos A × cos 2A× cos 4A× cos 8A=16  sin Asin 16A

Proof :

We know that,

sin \ 2A \ = 2 \ sin \ A \ cos \ Asin 2A =2 sin A cos A

____

LHS = cos \ A \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8Acos A × cos 2A× cos 4A× cos 8A

(Multiplying & Dividing by 2 sin A)

⇒ \frac{2 \ sin \ A \ \times \ cos \ A \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \ sin \ A}2 sin A2 sin A × cos A × cos 2A× cos 4A× cos 8A

⇒ \frac{(2 \ sin \ A \ \times \ cos \ A) \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \ sin \ A}2 sin A(2 sin A × cos A) × cos 2A× cos 4A× cos 8A

⇒ \frac{sin \ 2A \ \times \ cos \ 2A\times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \ sin \ A}2 sin Asin 2A × cos 2A× cos 4A× cos 8A

(Multiplying & Dividing by 2 )

⇒ \frac{2 \times \ sin \ 2A \ \times \ cos \ 2A \ \times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \times \ 2 \ sin \ A}2× 2 sin A2× sin 2A × cos 2A × cos 4A× cos 8A

⇒ \frac{(2 \times \ sin \ 2A \ \times \ cos \ 2A) \ \times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{2 \times \ 2 \ sin \ A}2× 2 sin A(2× sin 2A × cos 2A) × cos 4A× cos 8A

⇒ \frac{ sin \ 4A \ \times \ cos \ 4A\times \ cos \ 8A}{4 \ sin \ A}4 sin Asin 4A × cos 4A× cos 8A

(Multiplying & Dividing by 2 )

⇒ \frac{2 \times \ sin \