Question

Prove that cos20*cos40*cos60*cos80=1/16

Answer 1

Step-by-step explanation:

L.H.S. = cos 20°.cos40°.cos60°.cos80°

= cos60°.cos80°.cos40°.cos60°

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Answer 2

$\color{blue} \underline{\rm \large{ \: Question:- }}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \star \: \: \: Prove \: \: that \: cos20 \degree\times cos40\degree\times cos60 \degree \times cos80 \degree = \frac{1}{16} .$

$\color{blue} \underline{\rm \large{ \: Solution:- }}$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \star \: \: \: \: \sf \: LHS \: \: \: = \frac{1}{16}$

$\\ \: \: \: \: \: \star \: \: \: \sf \: LHS \: \: \: = cos20 \degree\times cos40\degree\times cos60 \degree \times cos80 \degree$

$\\ \sf \: \: \: \: Consider \: the \: given \: equation \:$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: cos20 \degree\times cos40\degree\times cos60 \degree \times cos80 \degree = \frac{1}{16}$

$\\ \sf \: LHS \: \: \: = cos20 \degree\times cos40\degree\times cos60 \degree \times cos80 \degree$

$\\ \\ \sf \: \: \: \: we \: know \: that , \: \: cos 60\degree = \frac{1}{2} \:$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = cos20 \degree\times cos40\degree\times \frac{1}{2} \times cos80 \degree$

$\\ \sf \: \: \: \: \: Multiply \: and \: divide \: the \: equation \: by \: 2 \:$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{4} (2 \times cos20 \degree\times cos40\degree \times cos80 \degree)$

$\\ \sf \: \: \: \: \: We \: know \: the \: formula , \bold{ 2cosA×2cosB = cos(a+b)+cos(a-b) }$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{4} [ cos(20 + 80) \degree\times cos(20 - 80)\degree ]cos40 \degree$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{4} [ cos( - 60) \degree\times cos(100)\degree ]cos40 \degree$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{4} [ \frac{1}{2} \degree + cos(100)\degree ]cos40 \degree$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{8} \times cos40 \degree + \frac{1}{4} ( cos100\degree \times cos40 \degree)$

$\\ \sf \: \: \: \: \: Multiply \: and \: divide \: the \: equation \: by \: 2 \:$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{2}{2}( \frac{1}{8} \times cos40 \degree ) + \frac{1}{8} ( 2 \times cos100\degree \times cos40 \degree)$

$\\ \sf \: \: \: \: \: again \: using \: this \: \: formula , \bold{ 2cosA×2cosB = cos(a+b)+cos(a-b) }$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{8} \times cos40 \degree + \frac{1}{8} [ cos140\degree \times cos( - 60 )\degree ]$

$\\ \sf \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{8} \times cos40 \degree + \frac{1}{8} \times cos140\degree + \frac{1}{16}$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: Since, cos \: 60° = \frac{1}{2}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{8} \times (cos40 \degree + cos140\degree) + \frac{1}{16}$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: : \implies LHS = \frac{1}{8} \times (2 \: cos90 \degree + cos( - 50)\degree) + \frac{1}{16}$

$\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: \: \therefore LHS = cos \: 90 ° \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \implies cos \: 90 ° = 0 \\ \\ \sf \:\therefore LHS = 0$

$\\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \longrightarrow \: LHS = \frac{1}{16}$

$\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{\boxed{ \pink{\frak{LHS = RHS }}}}$

$\\ \: \: \: \: \: \rm \underline{ \: \: Hence \: \: proved ✅ \: \: }$