Question

Prove that cosa-sina+1/cosa+sin a -1= cosec a + cot a

Answer 1

LHS
(cosA - sinA +1)/(cosA+sinA-1)

dividing the numerator and denominator by sinA
[(cosA - sinA +1)/sinA]/[(cosA+sinA-1)/sinA]
=(cotA - 1+ cosecA)/(cotA +1 - cosecA)
=(cotA+ cosecA-1)/(cotA- cosecA+1)

∵cosec²A - cot²A = 1
(cosecA+cotA)(cosecA- cotA) = 1

substituting this in numberator,
[(cotA+ cosecA)-(cosecA+cotA)(cosecA- cotA)]/(cotA- cosecA+1)
=(cotA+cosecA)[1 - (cosecA-cotA)]/(cotA- cosecA+1)
=(cotA+cosecA)[1 - cosecA+cotA)]/(cotA- cosecA+1)
= (cotA+cosecA)
=RHS

Answer 2

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \blue{ \: \: SOLUTION\: \: } \mid}}}}}$

$\underline{ \mathfrak{ \: \: To \: \: Prove : \leadsto \: \: }} \\ \\ \tt{ \frac{cos \:A - sin \: A + 1 }{cos \: A + sin \: A - 1} = cosec \: A + cot \: A}$

$\underline{ \mathfrak{ \: \: Identity \: \: Used : \leadsto \: \: }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf{ \: \: cosec {}^{2} A - cot {}^{2} A = 1 \: \: }}$

$\tt {L.H.S. = \frac{cos \:A - sin \: A + 1 }{cos \: A + sin \: A - 1} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt= \frac{ \frac{cos \:A - sin \: A + 1}{sin \: A} }{ \frac{cos \: A + sin \: A - 1}{sin \: A} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \frac{cos \: A}{sin \: A} - \frac{sin \:A }{sin \: A} + \frac{1}{sin \:A } }{ \frac{cos \:A }{sin \: A} + \frac{sin \:A }{sin \: A} - \frac{1}{sin \: A} }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{cot \: A - 1 + cosec \: A}{cot \:A + 1 - cosec \: A } } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ =\frac{cot \: A + cosec \: A - 1}{cot \:A - cosec \: A + 1 } }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ = \frac{cot \: A + cosec \: A -( cosec {}^{2} A - cot {}^{2} A) }{cot \:A - cosec \: A + 1}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{cosec \: A + cot\: A -[( cosec \: A - cot \: A)( cosec \: A + cot \: A)] }{cot \:A - cosec \: A + 1}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)[1 - (cosec \: A - cot\: A)]}{1 + cot \:A - cosec \: A}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)(1 - cosec \: A + cot\: A)}{1 + cot \:A - cosec \: A}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)(1 - + cot\: A - cosec \: A)}{1 + cot \:A - cosec \: A} }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= cosec \: A + cot \: A } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ = R.H.S.} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \bf{ \: \: \: Proved. \: \: \: }}$