Question

Prove that cosA-sinA+1 /CosA+sinA-1=cosec A+cot A using the identily cosec ²-cot²A=1

Answer 1

$\huge\mathbb{SOLUTION:-}$

$\sf\underline{\blue{\:\:\:\:To\: Prove:-\:\:\:\:\:\:}}$

$\sf \bullet \dfrac{cos A-sin A+1}{cos A+sinA-1}=cosecA+cotA$

$\sf\underline{\pink{\:\:\:\: Solution:-\:\:\:\:\:\:}}$

• L.H.S

$\sf\hookrightarrow \dfrac{cosA-sinA+1}{cosA+sinA-1}\\ \\ \sf\:\:dividing\:each \:term\:by\: sinA\\ \\ \sf\implies \dfrac{\dfrac{cosA}{sinA}-\cancel{\dfrac{sinA}{sinA}}+\dfrac{1}{sinA}}{\dfrac{cosA}{sinA}+\cancel{\dfrac{sinA}{sinA}}-\dfrac{1}{sinA}}\\ \\ \sf\implies \dfrac{cotA+cosecA-1}{cotA-cosecA+1}\\ \\ \sf\:\:\: cosec{}^{2}A-cot{}^{2}A=1\\ \\ \sf\implies \dfrac{cotA+cosecA-(cosec{}^{2}A-cot{}^{2}A)}{cotA-cosecA+1}\\ \\ \sf\implies \dfrac{cosec A+cotA-(cosecA+cotA)(cosecA-cotA)}{cotA-cosecA+1}\\ \\ \sf\implies \dfrac{(cosecA+cotA)[1-(cosecA-cotA)]}{cotA-cosecA+1}\\ \\ \sf\implies \dfrac{(cosecA+cotA)\cancel{(1-cosecA+cotA)}}{\cancel{1-cosec+cotA}}\\ \\ \sf\implies cosecA+cotA \:\:\: Hence\: proved !!$

$\boxed{\sf{\dfrac{cos A-sin A+1}{cos A+sinA-1}=cosecA+cotA}}$

Answer 2

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION \: \: } \mid}}}}}$

$\underline{ \mathfrak{ \: \: To \: \: Prove : \leadsto \: \: }} \\ \\ \tt{ \frac{cos \:A - sin \: A + 1 }{cos \: A + sin \: A - 1} = cosec \: A + cot \: A}$

$\underline{ \mathfrak{ \: \: Identity \: \: Used : \leadsto \: \: }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf{ \: \: cosec {}^{2} A - cot {}^{2} A = 1 \: \: }}$

$\tt {L.H.S. = \frac{cos \:A - sin \: A + 1 }{cos \: A + sin \: A - 1} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt= \frac{ \frac{cos \:A - sin \: A + 1}{sin \: A} }{ \frac{cos \: A + sin \: A - 1}{sin \: A} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \frac{cos \: A}{sin \: A} - \frac{sin \:A }{sin \: A} + \frac{1}{sin \:A } }{ \frac{cos \:A }{sin \: A} + \frac{sin \:A }{sin \: A} - \frac{1}{sin \: A} }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{cot \: A - 1 + cosec \: A}{cot \:A + 1 - cosec \: A } } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ =\frac{cot \: A + cosec \: A - 1}{cot \:A - cosec \: A + 1 } }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ = \frac{cot \: A + cosec \: A -( cosec {}^{2} A - cot {}^{2} A) }{cot \:A - cosec \: A + 1}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{cosec \: A + cot\: A -[( cosec \: A - cot \: A)( cosec \: A + cot \: A)] }{cot \:A - cosec \: A + 1}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)[1 - (cosec \: A - cot\: A)]}{1 + cot \:A - cosec \: A}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)(1 - cosec \: A + cot\: A)}{1 + cot \:A - cosec \: A}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)(1 - + cot\: A - cosec \: A)}{1 + cot \:A - cosec \: A} }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= cosec \: A + cot \: A } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ = R.H.S.} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \bf{ \: \: \: Proved. \: \: \: }}$