Question

Prove that cot theta - tan theta = 2 cos² theta - 1 by sin theta cos theta = 1 - 2 sin² theta by sin theat cos theta.​

Answer 1

Given:

Prove that cot $\sf\theta$ - tan $\sf\theta$ =

$\large\sf  \frac{2 \:  {cos}^{2} \:  \theta \:  -  \: 1}{sin \:  \theta \: cos \:  \theta} \:  =  \:  \frac{1 \:  -  \: 2 \:  {sin}^{2} \:  \theta}{sin \:  \theta \: cos \:  \theta}$

Solution:

$\large\sf\ cot \: \theta  \:  -  \: tan \: \theta$

$\Large\sf\ =  \:   \frac{cos \: \theta}{sin \: \theta} \:  -  \:  \frac{sin \: \theta}{cos \: \theta}$

$\Large\sf\ =  \:  \frac{cos \: \theta \: cos \: \theta \:  -  \: sin \: \theta \: sin \: \theta}{sin \: \theta \:  \:  \:  \: cos \: \theta}$

$\Large\sf\ =  \:  \frac{ {cos}^{2} \: \theta \:  -  \:  sin^{2} \: \theta }{sin \: \theta \: cos \: \theta}$

$\Large\sf\ =  \:  \frac{ {cos}^{2} \: \theta  \:  -  \: ( \:  -  \: 1 \:  {cos}^{2} \: \theta \: )}{sin \: \theta \:  \:  \: cos \: \theta}$

$\Large\sf\ =  \:  \frac{ {cos}^{2} \: \theta \:  -  \: 1 \:  + \:  {cos}^{2} \: \theta}{sin \: \theta \:  \: cos \: \theta}$

$\sf\ sin^{2} \: \theta \: = \: 1 \: - \: {cos}^{2} \: \theta \\ \: \: \: \sf\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \frac{2 \: cos {}^{2} \: \theta \: - \: 1}{sin \: \theta \: cos \: \theta} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }{}$

$\Large\sf\ = \: \frac{2 \: {cos}^{2} \: \theta \: - \: 1}{sin \: \theta \: cos \: \theta}$

$\Large\sf\ = \: \frac{2 \: ( \: 1 \: - \: sin {}^{2} \: \theta \: ) \: - \: 1}{sin \: \theta \: cos \: \theta}$

$\Large\sf\ = \: \frac{2 \: - \: 2 \: \: sin^{2} \: \theta \: - \: 1}{sin \: \theta \: cos \: \theta}$

$\: \:{\Large{\sf{\red{ = }}}} \: \: \: {\large{\boxed{\sf{\red{ \frac{1 \: - \: 2 \: sin {}^{2} \: \theta}{sin \: \theta \: cos \: \theta}}}}}}$

$\small$

${\sf{∴Hence, Solved!}}$