Question

prove that cotA. cot 2A+cot2A.cot3A+2=cotA.(CotA-cot3A)

Answer 1

LHS = cot A . cot 2A − cot 2A . cot 3A − cot 3A . cot A

=cot A . cot 2A − cot 3A(cot 2A + cot A)

=cot A . cot 2A − cot (2A + A)(cot 2A + cot A)

=cot A . cot 2A − [cot 2A . cot A − 1cot 2A + cot A](cot 2A + cot A)

=cot A . cot 2A − cot 2A . cot A + 1

=1 =RHS

Answer 2

$\bold{\huge{\underline{Solution-}}}$

LHS = cotA.cot2A + cot2A.cot3A+2

$\bf \: (cot2A.cotA + 1) + (cot3A.cot2A + 1) \\ \\ \bf \: ( \frac{cos2A}{sin2A} \times \frac{cosA}{sinA} + 1) + ( \frac{cos3 \: A}{sin3 \:A } \times \frac{cos \: 2A}{sin2 \: A} + 1) \\ \\ \bf \: \frac{cos2 \:A \times cosA + sin2A \: \times sin A}{sin \: 2A \times sin \:A } + \frac{cos \: 3A \times cos2 \: A + sin3 \:A \times sin2 \: A}{sin3 \: A \times sin2 \: A} \\ \\ \bf \: \frac{cos(2 \:A - A )}{sin2 \: A \times sin \:A } + \frac{cos \: A}{sin3 \:A \times sin2 \: A } \\ \\ \bf \: cos \: A( \frac{1}{sin2 \: A \times sin \:A } + \frac{1}{sin \: 3A \times sin2 \: A} ) \\ \\ \bf \frac{cos \: A}{sin \: A} ( \frac{sinA}{sin2 \: A \times sinA} + \frac{sin \: A}{sin3 \:A \times sin2A } ) \\ \\ \bf cotA( \frac{sin2 \: A - A}{sin2A \times sinA} + \frac{sin3A - 2A}{sin3A \times sin2A} ) \\ \\ \bf \: cotA( \frac{sin2A cosA - cos2A sinA}{sin2A \times sinA} + \frac{sin 3Acos2A - cos3Asin2A}{sin3A \times sin2A} ) \\ \\ \bf \: cotA \{ \: (cotA -cot 2A) + (cot2A -cot 3A) \} \\ \\ \bf \: cotA \times (cotA - cot3A)$