Question

Prove that sin^2 5 + sin^2 10 + sin^2 15 +.. + sin^2 90 = 9 1/2

Answer 1

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{sin^25^\circ+sin^210^\circ+sin^215^\circ+\;.\;.\;.\;.+sin^290^\circ=9\dfrac{1}{2}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Let\;\;sin^25^\circ+sin^210^\circ+sin^215^\circ+\;.\;.\;.\;.+sin^285+sin^290^\circ=x}$

$\mathsf{sin^25^\circ+sin^210^\circ+sin^215^\circ+\;.\;.+sin^245^\circ+\;.\;.+sin^285^\circ+(1)^2=x}$

$\mathsf{sin^25^\circ+sin^210^\circ+sin^215^\circ+\;.\;.+sin^245^\circ+\;.\;.+sin^285^\circ=x-1}$-----------(1)

$\mathsf{Using,}$

$\boxed{\mathsf{sin\theta=cos(90^\circ-\theta)}}\;\;\mathsf{in\;(1)}$

$\mathsf{cos^285^\circ+cos^280^\circ+cos^275^\circ+\;.\;.+cos^245^\circ+\;.\;.+cos^25^\circ=x-1}$---------(2)

$\textsf{Adding (1) and (2)}$

$\mathsf{(sin^25^\circ+cos^25^\circ)+(sin^210^\circ+cos^210^\circ)+(sin^215^\circ+cos^215^\circ)+\;,\;,+}$

$\mathsf{(sin^245^\circ+cos^245^\circ)+}\;,\;,\;,+(sin^285^\circ+cos^285^\circ)=2x-2}$

$\mathsf{Using}\;\boxed{\mathsf{cos^2A+sin^2A=1}}$

$\mathsf{1+1+1+\;,\;,\;,\;,17\;terms=2x-2}$

$\mathsf{17=2x-2}$

$\mathsf{2x=19}$

$\mathsf{x=\dfrac{19}{2}}$

$\mathsf{x=9\dfrac{1}{2}}$

$\implies\boxed{\mathsf{sin^25^\circ+sin^210^\circ+sin^215^\circ+\;.\;.\;.\;.+sin^290^\circ=9\dfrac{1}{2}}}$