Question

prove that Sin ( + 30°) = Cos + Sin( −30) ​

Answer 1

$\large\bf\underline\red{Correct \: Question \: :-}$

$\rm{ \sin( \alpha + 30\degree) = \cos \alpha + \sin( \alpha - 30\degree) }$

$\large\bf\underline\red{Answer \: :-}$

Proof :-

$\sf\longrightarrow{RHS = \cos \alpha + \sin( \alpha - 30 \degree) } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\longrightarrow{RHS = \cos \alpha + \sin \cos30 \degree - \cos \alpha \sin30 \degree } \\ \\ \sf\longrightarrow{RHS = \cos \alpha + \sin \alpha \cos30 \degree - \frac{( \cos \alpha )}{2 } } \: \: \: \: \: \\ \\\sf\longrightarrow{RHS = \sin \alpha \cos30 \degree + \frac{( \cos \alpha ) }{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\longrightarrow{RHS = \sin \alpha \cos30 \degree + ( \cos \alpha) \times \frac{1}{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\longrightarrow{RHS = \sin \alpha \cos30 \degree + \cos \alpha \sin30 \degree } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\longrightarrow{RHS = \sin( \alpha + 30 \degree) } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bf\longrightarrow \red{ \cos \alpha + \sin( \alpha + 30 \degree) = \sin( \alpha + 30 \degree) } \: \: \: \: \: \:$

Hence Proved !

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Trigonometry table :-

$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\begin{array}{ |c |c|c|c|c|c|} \bf\angle A & \bf{0}^{ \circ} & \bf{30}^{ \circ} & \bf{45}^{ \circ} & \bf{60}^{ \circ} & \bf{90}^{ \circ} \\ \\ \rm sin A & 0 & \dfrac{1}{2}& \dfrac{1}{ \sqrt{2} } & \dfrac{ \sqrt{3}}{2} &1 \\ \\ \rm cos \: A & 1 & \dfrac{ \sqrt{3} }{2}& \dfrac{1}{ \sqrt{2} } & \dfrac{1}{2} &0 \\ \\ \rm tan A & 0 & \dfrac{1}{ \sqrt{3} }&1 & \sqrt{3} & \rm \infty \\ \\ \rm cosec A & \rm \infty & 2& \sqrt{2} & \dfrac{2}{ \sqrt{3} } &1 \\ \\ \rm sec A & 1 & \dfrac{2}{ \sqrt{3} }& \sqrt{2} & 2 & \rm \infty \\ \\ \rm cot A & \rm \infty & \sqrt{3} & 1 & \dfrac{1}{ \sqrt{3} } & 0 \end{array}}}\end{gathered}$