Question

Prove that : sinA/1 + cotA - cosA/ 1 + tanA = SinA - Cos A.​

Answer 1

⠀⠀⌬ Prove that :

$\begin{gathered}\qquad \qquad \sf \bigstar \: \dfrac{sin\:A}{1\:+\:Cot\:A}\:\:-\:\: \: \dfrac{cos\:A}{1\:+\:tan\:A }\:\:=\:\: sin\:A\:-\:cos\:A \:\\\\\end{gathered}$

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$\begin{gathered}\qquad \qquad \sf \pink\dashrightarrow\: \dfrac{sin\:A}{1\:+\:Cot\:A}\:\:-\:\: \: \dfrac{cos\:A}{1\:+\:tan\:A }\:\:=\:\: sin\:A\:-\:cos\:A \:\\\\\end{gathered}$

${ }$

$\begin{gathered}\qquad \bigstar \:\underline {\pmb{\purple {\sf \:By \:Taking \: L.H.S \:,\:we\:get\:\::\:}}}\:\\\\\end{gathered}$

${ }$

$\:\:\:\:\:\:\:\dashrightarrow\:\sf{\dfrac{sin\:A}{1\:+\:cot\:A}}\:-\:{\dfrac{cos\:A}{1\:+\:tan\:A}}$

${ }$

$\:\:\:\:\:\:\dashrightarrow\:\sf{\dfrac{sin\:A\:\times\:sin\:A}{sin\:A\:+\:cos\:A}}\:-\:{\dfrac{cos\:A\:\times\:cos\:A}{cos\:A\:+\:sin\:A}}$

${ }$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\dashrightarrow\:\sf{\dfrac{sin²A\:-\:cos²A}{sin\:A\:+\:cos\:A}}$

${ }$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\dashrightarrow\:\sf{\dfrac{(sin\:A\:-\:cos\:A)\:(sin\:A\:+\:cos\:A)}{(sin\:A\:+\:cos\:A}}$

${ }$

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sf{\bold{∵\:a²\:-\:b²\:=\:(a\:-\:b)\:(a\:+\:b)}}$

${ }$

$\:\:\:\:\dashrightarrow\:{\underline{\boxed{\textsf{\textbf{\green{sin\:A\:-\:cos\:A\:=\:R.H.S.}}}}}}\:\red\bigstar$

${ }$

$\begin{gathered}\qquad \qquad \qquad {\pmb{\pink {\bf Hence\:, \:Verified\:..\:!!\:}}}\\\\\end{gathered}$

${ }$

Answer 2

$\large\frac{ cosA }{ 1−tanA } + \frac{sinA}{1−cotA}$

$\large\frac{cosA} {1− \frac{sinA}{ cosA}}+\frac{sinA}{ 1- \frac{cosA}{ sinA}}$

$\large\frac{cos²A}{cosA−sinA} − \frac{sin²A}{cosA−sinA}$

$\large\frac{cos²A−sin² A}{cosA−sinA}$

$\large\frac{(cosA+sinA)(cosA−sinA)}{cosA−sinA}</p><p>$

Answer = sin A + cos A