Question

prove that........tan inverse 63/16=sin inverse 5/13+cos inverse 3/5

Answer 1

$\underline{\textbf{To prove:}}$  

$\mathsf{sin^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right)+cos^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)=tan^{-1}\left(\dfrac{63}{16}\right)}$  

$\underline{\textbf{Solution:}}$  

$\underline{\textsf{Formula used:}}$  

$\boxed{\mathsf{tan^{-1}x+tan^{-1}y=tan^{-1}\left(\dfrac{x+y}{1-xy}\right)}}$  

$\mathsf{Take,\;sin^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right)=A}$  

$\implies\mathsf{sinA=\dfrac{5}{13}}$  

$\mathsf{cos^2A=1-sin^2A}$  

$\mathsf{cos^2A=1-\dfrac{25}{169}}$  

$\mathsf{cos^2A=\dfrac{169-25}{169}}$  

$\mathsf{cos^2A=\dfrac{144}{169}}$  

$\mathsf{cosA=\sqrt{\dfrac{144}{169}}}$  

$\mathsf{cosA=\dfrac{12}{13}}}$  

$\mathsf{tanA=\dfrac{sinA}{cosA}}$  

$\mathsf{tanA=\dfrac{\dfrac{5}{13}}{\dfrac{12}{13}}}$  

$\mathsf{tanA=\dfrac{5}{12}}$  

$\implies\boxed{\mathsf{A=tan^{-1}\left(\dfrac{5}{12}\right)}}$  

$\mathsf{Take,\;cos^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)=B}$  

$\implies\mathsf{cosB=\dfrac{3}{5}}$  

$\mathsf{sin^2B=1-cos^2A}$  

$\mathsf{sin^2B=1-\dfrac{9}{25}}$  

$\mathsf{sin^2B=\dfrac{25-9}{25}}$  

$\mathsf{sin^2B=\dfrac{16}{25}}$  

$\mathsf{sinB=\sqrt{\dfrac{16}{25}}}$  

$\mathsf{sinB=\dfrac{4}{5}}}$  

$\mathsf{tanB=\dfrac{sinB}{cosB}}$  

$\mathsf{tanB=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}}}$  

$\mathsf{tanB=\dfrac{4}{3}}$  

$\implies\boxed{\mathsf{B=tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right)}}$  

$\mathsf{Now,}$  

$\mathsf{sin^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right)+cos^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)}$  

$\mathsf{=tan^{-1}\left(\dfrac{5}{12}\right)+tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right)}$  

$\mathsf{=tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{5}{12}+\dfrac{4}{3}}{1-\dfrac{5}{12}{\times}\dfrac{4}{3}}\right)}$  

$\mathsf{=tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{15+48}{36}}{1-\dfrac{20}{36}}\right)}$  

$\mathsf{=tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{63}{36}}{\dfrac{36-20}{36}}\right)}$  

$\mathsf{=tan^{-1}\left(\dfrac{\dfrac{63}{36}}{\dfrac{16}{36}}\right)}$  

$\mathsf{=tan^{-1}\left(\dfrac{63}{16}\right)}$  

$\implies\boxed{\mathsf{\mathsf{sin^{-1}\left(\dfrac{5}{13}\right)+cos^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)=tan^{-1}\left(\dfrac{63}{16}\right)}}}$  

$\underline{\textbf{Find more:}}$

$\underline{\textbf{Find more:}}$

2tan^-1(tan(π/4-α/2)tan(π/4-β/2))=tan^-1(cosα.cosβ/sinα+sinβ)

https://brainly.in/question/10841205  

Answer 2

$let \: \: \: \: {sin}^{ - 1} \frac{5}{13} = a \: \: \: \: \: \: {cos}^{ - 1} \frac{3}{5} = b \\ \\ sina = \frac{5}{13} \\ \\ cosa = \sqrt{1 - \frac{25}{169} } \\ \\ cosa = \sqrt{ \frac{144}{169} } \\ \\ cosa = \frac{12}{13} \\ \\ {cos}^{ - 1} \frac{3}{5} = b \\ \\ cosb = \frac{3}{5} \\ \\ sinb = \sqrt{1 - \frac{9}{25} } \\ \\ sinb = \frac{4}{5} \\ \\ tana = \frac{sina}{cosa} = \frac{ \frac{5}{13} }{ \frac{12}{13} } = \frac{5}{12} \\ \\ tanb = \frac{ \frac{4}{5} }{ \frac{3}{5} } = \frac{4}{3} \\ \\ tan(a + b) = \frac{tana + tanb}{1 - tanatanb} \\ \\ tan(a + b) = \frac{ \frac{5}{12} + \frac{4}{3} }{1 - \frac{5}{12} \times \frac{4}{3} } \\ \\ tan(a + b) = \frac{15 + 48}{36 - 20} \\ \\ {tan}(a + b) = \frac{63}{16} \\ \\ a + b = {tan}^{ - 1} ( \frac{63}{16}) \\ \\ {sin}^{ - 1} \frac{5}{13} + {cos}^{ - 1} \frac{3}{5} = {tan}^{ - 1} \frac{63}{16}$