Question

prove that...... TanA+SinA÷TanA-SinA=SecA+1÷SecA-1

Answer 1

$\underline{\mathfrak{Solution : }}$



$\text{Given,}$



$\mathsf{ \implies RHS \: = \: \dfrac{ sec \: A \: + \: 1}{ sec \: A \: - \: 1}}$



$\mathsf{\implies LHS \: = \: \dfrac{ tan \: A \: + \: sin \: A }{ tan \: A \: - \: sin \: A }}$



$\mathsf{= \: \dfrac{ \: \quad \dfrac{sin \:A}{cos \: A} \:+ \: sin \: A \quad}{ \dfrac{ sin \:A}{cos \: A} \: - \: sin \: A} } \qquad \boxed{\mathsf{ \implies tan \: A = \: \dfrac{sin \: A}{ cos \: A }}}$



$\mathsf{ = \: \dfrac{\qquad \dfrac{ sin \: A \: + \: sin \: A \: \times \: cos \: A}{ \cancel{cos \:A}} \qquad}{\qquad \dfrac{ sin \: A \: - \: sin \:A \: \times \: cos \:A}{ \cancel{cos \:A}} \qquad}}$



$\mathsf{= \: \dfrac{ sin \: A \: + \: sin \:A \: \times \: cos \: A}{ sin \:A \: - \: sin \:A \: \times \: cos \:A}}$



$\mathsf{ = \: \dfrac{\cancel{ sin \:A}( 1 \: + \: cos \:A)}{ \cancel{ sin \:A}( 1 \: - \: cos \:A)}}$



$\mathsf{= \: \dfrac{ \quad 1 \: + \: \dfrac{1}{ sec \:A} \quad}{ \quad1 \: - \: \dfrac{1}{ sec \: A} \quad}} \qquad\boxed{\mathsf{\implies cos \:A \: = \: \dfrac{1}{sec \:A}}}$



$\mathsf{= \: \dfrac{\quad \dfrac{ sec \:A \: + \:1}{ \cancel{sec \:A}}\quad}{ \quad \dfrac{ sec \: A \: - \:1}{ \cancel{sec \: A}}\quad} }$



$\mathsf{ \implies \: \dfrac{ \: sec \:A \: + \:1 \: }{ \: sec \: A \: - \:1 \: }} = \: \boxed{\mathsf{RHS} }$



$\underline{\mathfrak{Proved !!}}$

Answer 2

Heya !
here's Ur Answer !

$\implies \frac{tan \: A \: + sin \: A}{tan \: A - sin \: A} = \frac{sec \: A+ 1}{sec \: A - 1}$

$\implies \: \frac{sin \: A \: + sin \: A \: cos \: A}{sin \: A - sin \: A \: cos \: A}$

$\implies\frac{1 + cos \: A}{1 - cos \: A }$

$\implies \: \frac{cos \: A( \frac{1}{cos \: A + 1}) }{cos \: A( \frac{1}{cos \: A \: - 1}) }$

$\implies \frac{sec \: A \: + 1}{sec \: A \: - 1}$

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