Question

Prove that the centres of the three circles x2 + y2 – 4x – 64 – 12 = 0,
x2 + y2 + 2x + 4y -5 = 0 and x2 + y2 - 10x – 16y + 7 = 0 are collinear.​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{Circles are}$

$\mathsf{x^2+y^2-4x-6y-12=0}$

$\mathsf{x^2+y^2+2x+4y-5=0}$

$\mathsf{x^2+y^2-10x-16y+7=0}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{Centres of the given circles are collinear}$

$\textbf{Solution:}$

$\textbf{Formula used:}$

$\mathsf{Centre\;of\;the\;circle\;x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\;is}$

$\mathsf{\left(-\dfrac{coeff.of\,x}{2},-\dfrac{coeff.of\,y}{2}\right)}$

$\mathsf{Centre\;of\;x^2+y^2-4x-6y-12=0\;is}$

$\mathsf{C_1\left(-\dfrac{(-4)}{2},-\dfrac{(-6)}{2}\right)}$

$\mathsf{C_1(2,\;3)}$

$\mathsf{Centre\;of\;x^2+y^2+2x+4y-5=0\;is}$

$\mathsf{C_2\left(-\dfrac{2}{2},-\dfrac{4}{2}\right)}$

$\mathsf{C_2(-1,\;-2)}$

$\mathsf{Centre\;of\;x^2+y^2-10x-16y+7=0\;is}$

$\mathsf{C_3\left(-\dfrac{(-10)}{2},-\dfrac{(-16)}{2}\right)}$

$\mathsf{C_3(5,\;8)}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{-2-3}{-1-2}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{-5}{-3}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{5}{3}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_2C_3=\dfrac{8+2}{5+1}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_2C_2=\dfrac{10}{6}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_2C_3=\dfrac{5}{3}}$

$\implies\mathsf{Slope\;of\C_1C_2=Slope\;of\;C_2C_3}$

$\therefore\mathsf{C_1,C_2,C_3\;are\;collinear}$

$\mathsf{Hence\;proved}$

Answer 2

$\huge\underline\texttt\green{Given:-}$

$\textsf{Circles are}$

$\mathsf{x^2+y^2-4x-6y-12=0}$

$\mathsf{x^2+y^2+2x+4y-5=0}$

$\mathsf{x^2+y^2-10x-16y+7=0}$

$\huge\underline\texttt\red{To Find:-}$

$\textsf{Centres of the given circles are collinear}$

$\huge\underline\texttt\orange{Solution:-}$

$\huge\underline\texttt\purple{Formula used:-}$

$\mathsf{Centre\;of\;the\;circle\;x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\;is}$

$\mathsf{\left(-\dfrac{coeff.of\,x}{2},-\dfrac{coeff.of\,y}{2}\right)}$

$\mathsf{Centre\;of\;x^2+y^2-4x-6y-12=0\;is}$

$\mathsf{C_1\left(-\dfrac{(-4)}{2},-\dfrac{(-6)}{2}\right)}$

$\mathsf{C_1(2,\;3)}$

$\mathsf{Centre\;of\;x^2+y^2+2x+4y-5=0\;is}$

$\mathsf{C_2\left(-\dfrac{2}{2},-\dfrac{4}{2}\right)}$

$\mathsf{C_2(-1,\;-2)}$

$\mathsf{Centre\;of\;x^2+y^2-10x-16y+7=0\;is}$

$\mathsf{C_3\left(-\dfrac{(-10)}{2},-\dfrac{(-16)}{2}\right)}$

$\mathsf{C_3(5,\;8)}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{-2-3}{-1-2}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{-5}{-3}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_1C_2=\dfrac{5}{3}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_2C_3=\dfrac{8+2}{5+1}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_2C_2=\dfrac{10}{6}}$

$\mathsf{Slope\;of\;C_2C_3=\dfrac{5}{3}}$

$\implies\mathsf{Slope\;of\:C_1C_2=Slope\;of\;C_2C_3}$

$\therefore\mathsf{C_1,C_2,C_3\;are\;collinear}$

$\huge\underline\blue{\underline \mathbf{Hence\;proved}}$