Question

prove that the vertices of A(-2,3) B(4,3) C(4,-1) and D(-2,-1) form a Rectangle ​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\textsf{Points are A(-2,3), B(4,3), C(4,-1) and D(-2,-1)}$

$\textbf{To prove:}$

$\textsf{ABCD is a rectangle}$

$\textbf{Solution:}$

$\mathsf{AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}$

$\mathsf{AB=\sqrt{(-2-4)^2+(3-3)^2}}$

$\mathsf{AB=\sqrt{(-6)^2+(0)^2}}$

$\mathsf{AB=\sqrt{36}}$

$\implies\boxed{\mathsf{AB=6}}$

$\mathsf{BC=\sqrt{(4-4)^2+(3+1)^2}}$

$\mathsf{BC=\sqrt{(0)^2+(4)^2}}$

$\mathsf{BC=\sqrt{16}}$

$\implies\boxed{\mathsf{BC=4}}$

$\mathsf{CD=\sqrt{(4+2)^2+(-1+1)^2}}$

$\mathsf{CD=\sqrt{6^2+(0)^2}}$

$\mathsf{CD=\sqrt{36}}$

$\implies\boxed{\mathsf{CD=6}}$

$\mathsf{AD=\sqrt{(-2+2)^2+(3+1)^2}}$

$\mathsf{AD=\sqrt{(0)^2+(4)^2}}$

$\mathsf{AD=\sqrt{16}}$

$\implies\boxed{\mathsf{AD=4}}$

$\mathsf{AB=CD\;\;\;and\;\;BC=AD}$

$\implies\textsf{Opposite sides are equal}$

$\mathsf{AC=\sqrt{(-2-4)^2+(3+1)^2}}$

$\mathsf{AC=\sqrt{(-6)^2+4^2}}$

$\mathsf{AC=\sqrt{36+16}}$

$\mathsf{AC=\sqrt{5}}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{AB^2+BC^2}$

$\mathsf{=36+16}$

$\mathsf{=52}$

$\mathsf{=AC^2}$

$\implies\mathsf{\angle{B}=90^\circ}$

$\textsf{Hence ABCD is a rectangle}$