Question

prove that Uxx +Uyy=0 if U= tan^-1(2xy/x^2-y^2)​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{U=tan^{-1}\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)}$

$\textbf{To prove:}$

$\mathsf{U_{xx}+U_{yy}=0}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{U=tan^{-1}\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)}$

$\textsf{Differentiate partially w.r.to x}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)^2}\left(\dfrac{(x^2-y^2)2y-2xy(2x)}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{2x^2y-2y^3-4x^2y}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{1}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{-2y^3-2x^2y}{1}\right)}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{1}{(x^2+y^2)^2}(-2y(x^2+y^2))}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{-2y}{(x^2+y^2)^2=-2y(x^2+y^2)^{-2}}}$

$\mathsf{U_{xx}=4y(x^2+y^2)^{-3}(2x)}$

$\mathsf{U_{xx}=\dfrac{8xy}{(x^2+y^2)^3}}$-------------(1)

$\mathsf{and}$

$\mathsf{U=tan^{-1}\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)}$

$\textsf{Differentiate partially w.r.to y}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)^2}\left(\dfrac{(x^2-y^2)2x-2xy(-2y)}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{2x^3-2xy^2+4xy^2}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{1}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{2x^3+2xy^2}{1}\right)}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{1}{(x^2+y^2)^2}(2x(x^2+y^2))}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{2x}{(x^2+y^2)^2=2x(x^2+y^2)^{-2}}}$

$\mathsf{U_{yy}=-4x(x^2+y^2)^{-3}(2y)}$

$\mathsf{U_{yy}=\dfrac{-8xy}{(x^2+y^2)^3}}$-----------(2)

$\mathsf{Adding\;(1)\;and\;(2)}$

$\mathsf{U_{xx}+U_{yy}}$

$\mathsf{=\dfrac{8xy}{(x^2+y^2)^3}+\dfrac{(-8xy)}{(x^2+y^2)^3}}$

$\implies\boxed{\mathsf{U_{xx}+U_{yy}=0}}$

Answer 2

$\textbf\red{Given:}$

$\mathsf{U=tan^{-1}\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)}$

$\textbf\red{To prove:}$

$\mathsf{U_{xx}+U_{yy}=0}$

$\textbf\red{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{U=tan^{-1}\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)}$

$\textsf{Differentiate partially w.r.to x}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)^2}\left(\dfrac{(x^2-y^2)2y-2xy(2x)}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{2x^2y-2y^3-4x^2y}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{1}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{-2y^3-2x^2y}{1}\right)}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{1}{(x^2+y^2)^2}(-2y(x^2+y^2))}$

$\mathsf{U_x=\dfrac{-2y}{(x^2+y^2)^2=-2y(x^2+y^2)^{-2}}}$

$\mathsf{U_{xx}=4y(x^2+y^2)^{-3}(2x)}$

$\mathsf{U_{xx}=\dfrac{8xy}{(x^2+y^2)^3}}$-------------(1)

$\mathsf{and}$

$\mathsf{U=tan^{-1}\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)}$

$\textsf{Differentiate partially w.r.to y}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{2xy}{x^2-y^2}\right)^2}\left(\dfrac{(x^2-y^2)2x-2xy(-2y)}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{(x^2-y^2)^2}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{2x^3-2xy^2+4xy^2}{(x^2-y^2)^2}\right)}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{1}{(x^2-y^2)^2+4x^2y^2}\left(\dfrac{2x^3+2xy^2}{1}\right)}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{1}{(x^2+y^2)^2}(2x(x^2+y^2))}$

$\mathsf{U_y=\dfrac{2x}{(x^2+y^2)^2=2x(x^2+y^2)^{-2}}}$

$\mathsf{U_{yy}=-4x(x^2+y^2)^{-3}(2y)}$

$\mathsf{U_{yy}=\dfrac{-8xy}{(x^2+y^2)^3}}$-----------(2)

$\mathsf{Adding\;(1)\;and\;(2)}$

$\mathsf{U_{xx}+U_{yy}}$

$\mathsf{=\dfrac{8xy}{(x^2+y^2)^3}+\dfrac{(-8xy)}{(x^2+y^2)^3}}$

$\implies\boxed{\mathsf\red{U_{xx}+U_{yy}=0}}$