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Answer 1

$\underline{\text{Proof :}}$

$\mathrm{Now,\:[\vec{a}+\vec{b}\:\vec{b}+\vec{c}\:\vec{c}+\vec{a}]}$

$\mathrm{=(\vec{a}+\vec{b}).\{(\vec{b}+\vec{c})\times (\vec{c}+\vec{a})\}}$

$\small{\mathrm{=(\vec{a}+\vec{b}).\{\vec{b}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{a}+\vec{c}\times \vec{c}+\vec{c}\times \vec{a}\}}}$

$\mathrm{=\vec{a}.\vec{b}\times \vec{c}+\vec{a}.\vec{b}\times \vec{a}+\vec{a}.\vec{c}\times \vec{a}}$

$\mathrm{+\vec{b}.\vec{b}\times \vec{c}+\vec{b}.\vec{b}\times \vec{a}+\vec{b}.\vec{c}\times \vec{a}}$

$\mathrm{=[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]+[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{a}]+[\vec{a}\:\vec{c}\:\vec{a}]}$

$\mathrm{+[\vec{b}\:\vec{b}\:\vec{c}]+[\vec{b}\:\vec{b}\:\vec{a}]+[\vec{b}\:\vec{c}\:\vec{a}]}$

$\mathrm{=[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]+[\vec{b}\:\vec{c}\:\vec{a}]}$

$\mathrm{=[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]+[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]}$

$\mathrm{=2 [\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]}$

$\to \boxed{\mathrm{[\vec{a}+\vec{b}\:\vec{b}+\vec{c}\:\vec{c}+\vec{a}]=2 [\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]}}$

$\text{Hence, proved.}$

$\underline{\text{Rules :}}$

$\mathrm{1.\:\vec{c}\times \vec{c}=\vec{0}}$

$\mathrm{2.\:[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{a}]=0}$

$\mathrm{3.\:[\vec{a}\:\vec{c}\:\vec{a}]=0}$

$\mathrm{4.\:[\vec{b}\:\vec{b}\:\vec{c}]=0}$

$\mathrm{5.\:[\vec{b}\:\vec{b}\:\vec{a}]=0}$

$\mathrm{6.\:[\vec{b}\:\vec{c}\:\vec{a}]=[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]}$

$\mathrm{7.\:\vec{a}.\vec{b}\times \vec{c}=[\vec{a}\:\vec{b}\:\vec{c}]}$