Question

QI Q2 Q3 सिद्ध कीजिए कि परिमेय संख्याओं को समुच्चय में समीकरण x250 का कोई हल नहीं है। सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है। सिद्ध कीजिए कि किसी बिन्दुER क्षेत्र परिमिक संख्यक प्रतिवेशों का सर्वनिष्ठ f(x) = y/y का एक प्रतिवेश है। Q4 Q5 Q6 उन बिन्दुओं को प्राप्त कीजिए जहां प्रतिचित्रण नहीं है। यदि दो सम्मिश्र संख्याओं का योग तथा गुणन दोनों वास्तविक है तब प्रदर्शित कीजिए कि दोनों संख्याएं या तो वास्तविक है या संयुग्नी हैं। समाकलन गणित की मूलभूत प्रमेय को सत्यापित कीजिए। दिखाइये कि int 0 ^ 1 x^ n (1) on अभिसारी होता है यदि m-0 औरn>0 Q7 Q8 सिद्ध कीजिए कि डोमेन के प्रत्येक बिन्दु z पर जहाँ (2) वैश्लेषिक और (2)] है. प्रतिचित्रित w=1 (2) कानफार्मल है। 09 यदि u = (x - 1) 112-3xy2+3y) V का मान प्राप्त कीजिए जब u+lv, x+ly एक वैश्लेशिक फलन है। Q10 सिद्ध कीजिए कि विविक्त समष्टि में प्रत्येक समुच्चय विवृत एवं

Answer 1

Given :   वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R

Set of Real numbers

To Find : सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है​

Prove that  Set of Real numbers is uncountable

Solution:

Assume that  Set of Real numbers   is countable

and arrange then in ascending  order

R = {  a₁  , a₂  ,  a₃ , _____, n₁ , n₂ ____   z₁ , z₂   }

Each number mentioned above representing a real numbers and arranged in ascending order

As we know that there exist at least a real number between 2 real numbers a , b  is  (a  + b)/2  

a < (  a + b) /2  <   b  if  a < b

a  > ( a + b)/2 > b   if  a > b

Hence there will exist a real number (z₁ + z₂ )/2

z₁ <  (z₁ + z₂ )/2 < z₂

but as we have arranged numbers in ascending order

hence there can not exist any real number between z₁ and   z₂

but (z₁ + z₂ )/2  lies between  z₁ and   z₂

Hence our assumption was wrong

Assumption that  Set of Real numbers   is countable  is  INCORRECT

hence  Set of Real numbers   is uncountable

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R अगणनीय है​

QED

Hence proved

Learn More:

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R  अगणनीय है​

brainly.in/question/42467534