Question

Question (1)
If cosecA + cotA = P then show that CosA = P² - 1/P² + 1
(Question (2)
SecA - 1/secA+1 = (sinA/1 + cosA)² prove it
Need answer with good Content. wrong answer will be reported at the spot.​

Answer 1

⇒ cosecA + cotA = P

⇒ 1/sinA + cosA/sinA = P

⇒ (1 + cosA)/sinA = P

⇒ 1 + cosA = PsinA

   Square on both sides:

⇒ (1 + cosA)² = (P sinA)²

⇒ cos²A + 2cosA + 1² = P²sin²A

⇒ cos²A + 2cosA + 1 = P²(1 - cos²A)

⇒ cos²A + 2cosA + 1 = P² - P²cos²A

⇒ (P² + 1)cos²A + 2cosA + (1 - P²) = 0

⇒ (P² + 1)cos²A + (1 + P²)cosA + (1 - P²)cosA + (1 - P²) = 0

      Using 'splitting the middle term'

⇒ cosA(1 + P²) (1 + cosA) + (1 - P²)(cosA + 1) = 0

⇒ [cosA(1 + P²) + (1 - P²)] (1 + cosA) = 0

⇒ cosA ≠ - 1 , so  cosA = - (1 - P²)/(1 + P²)

                                      = (P² - 1)/(P² + 1)

*it is better to be solved by 'componendo and dividendo method'

(2):  (secA - 1)/(secA + 1)

    ⇒ (1/cosA - 1) / (1/cosA + 1)

    ⇒ [  (1 - cosA)/cosA ]  /  [ (1 + cosA)/cosA ]

    ⇒ (1 - cosA) / (1 + cosA)

Multiply and divide by 1 + cosA:

     ⇒ (1 - cosA)(1 + cosA) / (1 + cosA)(1 + cosA)

     ⇒ (1 - cos²A) / (1 + cosA)²

     ⇒ (sin²A) / (1 + cosA)²

     ⇒ ( sinA/1+cosA )²

*better to be seen through browser/desktop-mode.

Answer 2

Question (1) :-

Given :-

• CosecA + CotA = P

To Show :-

• CosA = (P² - 1)/(P² + 1)

Solution :-

⇢ CosecA + CotA = P

⇢ 1/SinA + CosA/SinA = P

⇢ (1 + CosA)/SinA = P

• Squaring on both sides here :-

⇢ {(1 + CosA)/SinA}² = P²

⇢ (1 + CosA)²/Sin²A = P²/1

• Here using componendo and devidendo rules :-

⇢ {(1 + CosA)² - Sin²A}/{Sin²A + (1 + CosA)² = (P² - 1)/P² + 1

⇢ (1 + 2CosA + Cos²A - Sin²A)/(Sin²A + 1 + 2cosA + Cos²A) = (P² - 1)/(P² + 1)

• Sin²A + Cos²A = 1 , 1 - sin²A = Cos²A

⇢ (Cos²A + 2CosA + Cos²A )/(1 + 1 + 2CosA) = (P² - 1)/(P² + 1)

⇢ (2Cos²A + 2CosA)/(2 + 2CosA) = (P² - 1)/(P² + 1)

⇢ 2CosA(CosA + 1)/2(1 + CosA) = (P² - 1)/(P² + 1)

⇢ CosA = (P² - 1)/(P² + 1) Hence, Proved

Question (2) :-

Given :-

• (SecA - 1)/(SecA + 1) = (SinA/1 + CosA)²

Solution :-

⇢ SecA - 1)/SecA + 1)

⇢ (1/CosA - 1)/(1/CosA + 1)

⇢ (1 - CosA/CosA)/(1 + CosA/CosA)

⇢ (1 - CosA)/CosA × CosA/(1 + CosA)

⇢ (1 - CosA)/(1 + CosA)

• Here multiplying by (1 + CosA) in both Numerator and denominator.

⇢ (1 - CosA)/(1 + CosA) × (1 + CosA)(1 +CosA)

⇢ (1 - Cos²A)/(1 + CosA)²

⇢ Sin²A/(1 + CosA)²

⇢ (SinA/1 + CosA)²

Hence proved , L.H.S = R.H.S