Question

Question :-

Evaluate

$(1) \: \: \frac{4}{(216)^{ \frac{ - 2}{3} } } + \frac{1}{(256)^{ \frac{ - 3}{4} } } + \frac{2}{(243)^{ \frac{ - 1}{5} } } \\ \\ (2) \: \: (\frac{81}{16})^{ \frac{ - 3}{4} }[( \frac{25}{9})^{ \frac{ - 3}{2} } \div ( \frac{5}{2} )^{ - 3} ]$​

Answer 1

$\large\underline\mathrm{Questions \: 1.}$

• $\: \: \: \: \: \: \: \: \frac{4}{{(216)}^{\frac{-2}{3}}} \: + \: \frac{1}{{(256)}^{\frac{-3}{4}}} \: + \: \frac{2}{{(243)}^{\frac{-1}{5}}}$

$\large\underline\mathrm{Solution:-}$

• $\: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{4}{{(216)}^{\frac{-2}{3}}} \: + \: \frac{1}{{(256)}^{\frac{-3}{4}}} \: + \: \frac{2}{{(243)}^{\frac{-1}{5}}}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{4}{{(216)}^{\frac{-2}{3}}} \: \: = \: \: {4} \: \times \: {(216)}^{\frac{2}{3}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {({6}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {(6)}^{{\cancel{3}} \: \times \: \frac{2}{\cancel{3}}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {(6)}^{2}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {4} \: \times \: {36}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {114} \: \: \: \: \: \: \: .{(i)}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{1}{{(256)}^{\frac{-3}{4}}} \: \: = \: \: {(256)}^{\frac{3}{4}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {(4)}^{{\cancel{4}} \: \times \: {\frac{3}{\cancel{4}}}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {(4)}^{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {64} \: \: \: \: \: \: \: .{(ii)}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{2}{{(243)}^{\frac{-1}{5}}} \: \: = \: \: {2} \: \times \: {(245)}^{\frac{1}{5}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {2} \: \times \: {({3}^{5})}^{\frac{1}{5}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {2} \: \times \: {(3)}^{{\cancel{5}} \: \times \: {\frac{1}{\cancel{5}}}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {2} \: \times \: {3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \: {6} \: \: \: \: \: \: \: .{(iii)}$

$\: \: Now,$

$\: \: \: \: \: \: Adding \: \: equation \: \: {(i)}, \: \: {(ii)} \: \: and \: \: {(iii)}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {144} \: + \: {64} \: + \: {6}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {144} \: + \: {70}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {214}.$

$\large\underline\mathrm{Question \: 2.}$

• $\: \: \: \: \: \: \: \: {(\frac{81}{16})}^{\frac{-3}{4}} \: \: [{(\frac{25}{9})}^{\frac{-3}{2}} \: \div \: {(\frac{5}{2})}^{-3}]$

$\large\underline\mathrm{Solution:-}$

• $\: \: \: \: \: \: \: \: {(\frac{81}{16})}^{\frac{-3}{4}} \: \: [{(\frac{25}{9})}^{\frac{-3}{2}} \: \div \: {(\frac{5}{2})}^{-3}]$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {{(\frac{3}{2})}^{{\cancel{4}} \: \times \: \frac{-3}{\cancel{4}}}} \: \: {{[{(\frac{5}{3})}^{\cancel{2} \: \times \: \frac{-3}{\cancel{2}}} \: \div \: {(\frac{5}{2})}^{-3}]}}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {(\frac{3}{2})}^{-3} \: \: [{(\frac{5}{3})}^{-3} \: \div \: {(\frac{5}{2})}^{-3}]$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{3}} \: \: [\frac{1}{{(\frac{5}{3})}^{3}} \: \div \: \frac{1}{{(\frac{5}{2})}^{3}}]$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: \frac{1}{(\frac{27}{8})} \: \: [\frac{1}{(\frac{125}{27})} \: \div \: \frac{1}{(\frac{125}{8})}]$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {\frac{8}{27}} \: \: [{\frac{27}{125}} \: \div \: {\frac{8}{125}}]$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {\frac{8}{27}} \: \: [{\frac{27}{125}} \: \times \: {\frac{125}{8}}]$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {\frac{\cancel{8}}{\cancel{27}}} \: \: \times \: {\frac{\cancel{27}}{\cancel{8}}}$

$\: \: \: \: \: \: \leadsto \: \: {1.}$

Answer 2

$\sf ANSWER$

================================

(i) $\begin{gathered} \frac{4}{ {(216)}^{ \frac{ - 2}{3} } } \: \: + \: \frac{1}{ {(256)}^{ \frac{ - 3}{4} } } \: + \: \frac{2}{ {(243)}^{ \frac{ - 1}{5} } } \\ \\ \\ 4 \times {(216)}^{ \frac{2}{3} } + 1 \times {(256)}^{ \frac{3}{4} } + 2 \times {(243)}^{ \frac{1}{5} } \\ \\ \\ 4 \times {6}^{3 \times \frac{2}{3} } + {4}^{4 \times \frac{3}{4} } + 2 \times {3}^{5 \times \frac{1}{5} } \\ \\ \\ 4 \times {6}^{2} + {4}^{3} + 6 \\ \\ \\ 4 \times 36 + 64 + 6 \\ \\ \\ 214\end{gathered}$

================================

(2)-:

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

$\rm :\longmapsto\: \bigg( { \dfrac{81}{16} } \bigg)^{ \dfrac{ - 3}{4} } \times$

$\bigg( { \dfrac{25}{9} } \bigg)^{ \dfrac{ - 3}{2} } \div \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{ - 3}:$

$\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{16}{81} } \bigg)^{ \dfrac{3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{9}{25} } \bigg)^{ \dfrac{3}{2} } \div \bigg({ \dfrac{2}{5} } \bigg)^{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bigg \{ \because \: {\bigg(\dfrac{a}{b} \bigg) }^{ - m} = {\bigg(\dfrac{b}{a} \bigg) }^{m}\bigg \}}$

$\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3} } \bigg)^{ \dfrac{3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{3 \times 3}{5 \times 5} } \bigg)^{ \dfrac{3}{2} } \times \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{3}</p><p>\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{2}{3} } \bigg)^{4 \times \dfrac{3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{3}{5} } \bigg)^{2 \times \dfrac{3}{2} } \times \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{3}$

$\rm \: \: = \: \: \bigg( { \dfrac{2}{3} } \bigg)^{3} \times \bigg( { \dfrac{3}{5} } \bigg)^{3} \times \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{3}$

$\rm \: \: = \: {\bigg(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{2} \bigg) }^{3}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bigg \{ \because \: {x}^{m} \times {y}^{m} = {(xy)}^{m} \bigg \}}$

$\rm \: \: = \: {(1)}^{3}=(1)$

$\large\rm \: \: = \: 1$

Hence,

$\bf :\longmapsto\:\: \bigg( { \dfrac{81}{16} } \bigg)^{ \dfrac{ - 3}{4} } \times \bigg( { \dfrac{25}{9} } \bigg)^{ \dfrac{ - 3}{2} } \div \bigg({ \dfrac{5}{2} } \bigg)^{ - 3} = 1$

Additional Information :-

$\green{\boxed{ \tt \: {x}^{m} \times {x}^{n} = {x}^{m + n}}}$

$\green{\boxed{ \tt \: {x}^{m} \div {x}^{n} = {x}^{m - n}}}$

$\green{\boxed{ \tt \: {( {x}^{m}) }^{n} = {x}^{mn} }}$

$\green{\boxed{ \tt \: {x}^{0} = 1 }}$

$\green{\boxed{ \tt \: {x}^{ - y} = \dfrac{1}{ {x}^{y} } }}$

$\green{\boxed{ \tt \: {x}^{m} \times {y}^{m} = {(xy)}^{m} }}$