Question

Question :-
${ \sf{if \: { \sf{A = \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}}} \\ \\ \\ {\sf{Then, \: Find \: {A}^{3}-3 {A}^{2} -A-3i }}$
Note :-

➡️Want Well Explained Answer
➡️Don't Spam​

Answer 1

Answer:

PLEASE CHECK THE ATTACHMENT FOR THE SOLUTION

Answer 2

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given matrix is

$\rm :\longmapsto\:A \: = \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}$

Now,

Consider,

$\rm :\longmapsto\: {A}^{2}$

$\rm \:  =  \:  \: A \times A$

$\rm \:  =  \:  \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \end{bmatrix}}} \times { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}$

$\rm \:  =  \:  \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } {1 + 0 + 3} & { - 2 - 2 - 1 } & { 1 + 2 + 1 } \\ { 0 + 0 - 3 } & { 0 + 1 + 1} & { 0- 1 - 1} \\ { 3 + 0 + 3 } & { - 6 - 1 - 1} & {3 + 1 + 1} \end{array} \end{bmatrix} \quad}}$

$\rm \:  =  \:  \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 4 } & { - 5 } & { 4 } \\ { - 3 } & { 2 } & { - 2 } \\ { 6 } & { - 8 } & { 5 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}$

$\red{\rm :\longmapsto\: {A}^{2} \rm \:  =  \:  \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 4 } & { - 5 } & { 4 } \\ { - 3 } & { 2 } & { - 2 } \\ { 6 } & { - 8 } & { 5 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}}$

Now, Consider

$\rm :\longmapsto\: {A}^{3}$

$\rm \:  =  \:  \: {A}^{2} \times A$

$\rm \:  =  \:  \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 4 } & { - 5 } & { 4 } \\ { - 3 } & { 2 } & { - 2 } \\ { 6 } & { - 8 } & { 5 } \end{array} \end{bmatrix}}} \times { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}$

$\rm \:  =  \:  \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 4 + 0 + 12} & { - 8 - 5 - 4} & { 4 + 5 + 4 } \\ { - 3 + 0 - 6 } & { - 6 + 2 + 2 } & { - 3 - 2 - 2 } \\ { 6 + 0 + 15} & { - 12 - 8 - 5 } & { 6 + 8 + 5 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}$

$\rm \:  =  \:  \: { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 16 } & { - 17 } & { 13 } \\ { - 9 } & { 10 } & { - 7 } \\ { 21 } & { - 25 } & { 19 } \end{array} \end{bmatrix} \quad}}$

Now, Consider,

$\rm :\longmapsto\: {A}^{3} - {3A}^{2} - A - 3I$

On substituting the values evaluated above, we get

$\rm ={ \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 16 } & { - 17 } & { 13 } \\ { - 9 } & { 10 } & { - 7 } \\ { 21 } & { - 25 } & { 19 } \end{array} \end{bmatrix}}} - 3{ \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 4 } & { - 5 } & { 4 } \\ { - 3 } & { 2 } & { - 2 } \\ { 6 } & { - 8 } & { 5 } \end{array} \end{bmatrix}}} - { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \end{bmatrix}}} - 3\begin{gathered}\sf \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0& 1&0\\ 0&0&1\end{array}\right]\end{gathered}$

$\rm ={ \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 16 } & { - 17 } & { 13 } \\ { - 9 } & { 10 } & { - 7 } \\ { 21 } & { - 25 } & { 19 } \end{array} \end{bmatrix}}} - { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 12 } & { - 15 } & { 12 } \\ { - 9 } & { 6 } & { - 6 } \\ { 18 } & { - 24 } & { 15 } \end{array} \end{bmatrix}}} - { \sf{ \begin{bmatrix} \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \end{bmatrix}}} - \begin{gathered}\sf \left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0& 3&0\\ 0&0&3\end{array}\right]\end{gathered}$

$\rm \:  =  \:  \: \begin{gathered}\sf \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0& 0&0\\ 0&0&0\end{array}\right]\end{gathered}$

Hence,

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \underbrace{ \boxed{\rm :\longmapsto\: {A}^{3} - {3A}^{2} - A - 3I = 0}}$