Question

root 3 cot 20 - 4 cos 20

Answer 1

Question : $\sqrt{3}$ cot 20 - 4 cos 20

⇒ $\sqrt{3} \frac{cos 20}{sin 20}$ - 4 cos 20

⇒ $\frac{\sqrt{3} cos 20 - 4 cos 20 sin 20}{sin 20}$

⇒ $\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}) cos 20 - 2 (2 cos 20 sin 20)}{sin20}$

⇒ $\frac{\text{2 sin 60 cos 20 - 2 sin 40}}{\text{sin 20}}$

∵ [2 sin x cos x = sin 2x]

⇒ $\frac{\text{(sin (60+20) + sin (60-20) - 2 sin 40}}{\text{sin 20}}$

∵ [2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)]

⇒ $\frac{\text{sin 80 + sin 40-2 sin 40}}{\text{sin 20}}$

⇒ $\frac{\text{sin 80 - sin 40}}{\text{sin 20}}$

⇒ $\frac{2 sin (\frac{80 - 40)}{2}) cos (\frac{80 + 40}{2})}{sin 20}$

∵ [sin A - sin B = 2 sin $(\frac{A-B}{2}) cos (\frac{A+B}{2})]$

⇒ $\frac{\text{2 sin 20 cos 60}}{\text{sin 20}}$

⇒ 2 cos 60

⇒ $2 \times \frac{1}{2}$

⇒ 1

Answer 2

Given, √3*cot 20 - 4*cos 20

= √3*cos 20/sin 20 - 4*cos 20

= (√3*cos 20 - 4*cos 20*sin 20)//sin 20

= (√3*cos 20 - 2*2*cos 20*sin 20)//sin 20

= {√3*cos 20 - 2*sin (2*20)}//sin 20

= = {√3*cos 20 - 2*sin 40}//sin 20        {since sin 2x = 2*sin x*cosx}

= {2*sin 60*cos 20 - 2*sin 40}//sin 20           {since sin 60 = √3/2}

= {sin 80 + sin 40 - 2*sin 40}//sin 20 {since 2*sin A*cos B = sin (A + B) + sin (A - B)}

= {sin 80 - sin 40}//sin 20                      

= {2*cos 60*sin 20}/sin 20  {since sin A - sin B = 2 * sin (A - B)/2 *cos (A + B)/2}

= 2*cos 60                            

= 2 * 1/2            {since cos 60 = 1/2]

= 1 So, √3*cot 20 - 4*cos 20 = 1