Question

सिद्ध कीजिए 'अपरिमेय संख्या है'
1) root 3
2) root 7
3) 3+2root5
4) 6root5
5) 6+root2
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Answer 1

Answer:

सबसे पहले इसका उलटा मान लेते हैं; यानि मान लेते हैं कि

√5

एक परिमेय संख्या है।

ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;

√5

=abया, b√5=aदोनों तरफ का वर्ग करने पर यह समीकरणमिलता है;5b2=a2

इसका मतलब है कि a2 5 से डिविजिबल होगा और इसलिये a भी 5 से डिविजिबल होगा।

लेकिन यह हमारी पहले के मान का विरोधी है कि a और b कोप्राइम हैं, क्योंकि हमें 5 के रूप में a और b का कम से कम एक कॉमन फैक्टर मिल गया है।

यह हमारे पहले मानी हुई संभावना कि b√5

प्रमेय संख्या है का भी विरोधाभाषी है।

इसलिए एक b√5

अप्रमेय संख्या है सिद्ध हुआ।