Question

सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

Answer 1

माना कि ABCD एक समचतुर्भुज है तथा इसके विकर्ण AC तथा BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।

हमें सिद्ध करना है : AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD²

हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं ।

अत: ∠AOB=∠BOC=∠DOC =∠DOA=90°

त्रिभुज, AOB में,

∠AOB=90° अतः पायथागोरस प्रमेय से,

अत: AB²  = AO²  + BO²  ---------(i)

इसी प्रकार , त्रिभुज BOC में, ∠BOC=90°

अत: BC² = BO²  + CO² --------(ii)

त्रिभुज COD में, ∠COD=90°

अत: CD² = CO²  + DO²  --------- (iii)

उसी प्रकार, त्रिभुज AOD में, ∠AOD=90°

अत: AD²  = AO²  + DO² -------- (iv)

समीकरण (i), (ii), (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि

AB² + BC²  + CD²  + AD²

= AO² + BO² + BO² + CO² + CO² + DO² + AO²  + DO²

= 2(AO² + BO² + CO² + DO²) -------- (v)

अब चूँकि विकर्ण एक दूसरे को बराबर भागों में काटती हैं अर्थात समद्विभाजित करती हैं,

अत: AO = CO =AC/2 तथा, BO = DO =BD/2

अत: समीकरण (v)में, 
AO=AC/2,CO=AC/2, BO=DB/2 तथा DO=DB/2 रखने पर हम पाते हैं कि
AB² + BC² + CD² + AD²

=2[(AC/2)²+(BD/2)²+(AC/2)²+(BD/2)²]

=2[2(AC/2)²+2(BD/2)²]

=2[(AC)²/2+(BD)²/2]

=AC² + BD²

=AC² +BD²

Answer 2

माना ABCD एक समचतुर्भुज हैं जिसमें AB||DC, AD||BC
ㄥAOB = ㄥBOC = ㄥ DOC = ㄥAOD = 90°
हम जानते हैं समचतुर्भुज की आमने सामने की भुजा समान होते हैं

ΔAOB में, पाइथागोरस प्रमेय से

AB ² = AO ² + OB ² .........................(1)

ΔBOC में, पाइथागोरस प्रमेय से

BC ² = BO ² + OC ² .........................(2)

ΔCOD में, पाइथागोरस प्रमेय से

CD ² = CO ² + OD ² ..........................(3)

ΔAOD में, पाइथागोरस प्रमेय से

AD ² = AO ² + OD² ...........................(4)

समीकरण 1,2,3,और 4 को जोड़ने पर

AB ² + BC ²+ CD ²+ AD²

= OA ²+ OB²+OB² + OC² + OC² +OD² +OD²+OA²

= 2[OA ²+ OB²+OC²+OD²]

= 2 [2OA ² + 2OB ² ] (•°•OA = OC, OB= OD)

= 4[OA ² + OB ²]

$= (OA = \frac{1}{2} AC, OB = \frac{1}{2} BD)$

$4[( \frac{AC}{2} ) {}^{2} + ( \frac{BD}{2} ) {}^{2} ] \\ \\ 4[ \frac{AC} {4}^{2} + \frac{BD {}^{2} }{4} ] \: \:$

AC ² + BD ²

$\: \: \: \: \: \: \: \:$इति सिद्धम