सिद्ध कीजिए कि किसी हरमीटी आव्यूह के अभिलाक्षणिक मान वास्तविक होते है ।
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आव्यूह के प्रकार (Types of Matrices)
(i) एक आव्यूह, पंक्ति आव्यूह कहलाता है यदि उसमें केवल एक पंक्ति होती है।
(ii) एक आव्यूह, स्तंभ आव्यूह कहलाता है यदि उसमें केवल एक स्तंभ होता है।
(iii) एक आव्यूह जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के समान होती है, एक वर्ग आव्यूह (Square matrix) कहलाता है। अतः एक m × n आव्यूह, वर्ग आव्यूह कहलाता है यदि m = n हो और उसे ‘n’ कोटि का वर्ग आव्यूह कहते हैं।
(iv) एक वर्ग आव्यूह B = [bij]n×n विकर्ण आव्यूह (Diagonal matrix) कहलाता है यदि विकर्ण के अतिरिक्त इसके सभी अन्य अवयव शून्य होते हैं अर्थात् एक आव्यूह B = [bij]n×n विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि bij = 0 जब i ≠ j हो।
(v) एक विकर्ण आव्यूह, अदिश आव्यूह (Scalar matrix) कहलाता है यदि इसके विकर्ण के अवयव समान होते हैं, अर्थात् एक वर्ग आव्यूह B = [bij]n×n अदिश आव्यूह कहलाता है यदि bij = 0 जब i ≠ j, bij = k जब i = j जहाँ k कोई अचर है।
(vi) एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण को सभी अवयव एक होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह (Identity matrix) कहलाता है।
दूसरे शब्दों में, वर्ग आव्यूह A = [aij]n×n एक तत्समक आव्यूह है यदि aij = 1 जब i = j हो तथा aij = 0, जब i ≠ j हो।
(vii) एक आव्यूह, शून्य आव्यूह या रिक्त आव्यूह कहलाता है यदि इसके सभी अवयव शून्य हों। हम शून्य आव्यूह को O द्वारा निरुपित करते हैं।
(viii) दो आव्यूह A = [aij] तथा B = [bij] समान कहलाते हैं यदि
Answer:
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Step-by-step explanation:
(i) एक आव्यूह, पंक्ति आव्यूह कहलाता है यदि उसमें केवल एक पंक्ति होती है।
(ii) एक आव्यूह, स्तंभ आव्यूह कहलाता है यदि उसमें केवल एक स्तंभ होता है।
(iii) एक आव्यूह जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के समान होती है, एक वर्ग आव्यूह (Square matrix) कहलाता है। अतः एक m × n आव्यूह, वर्ग आव्यूह कहलाता है यदि m = n हो और उसे ‘n’ कोटि का वर्ग आव्यूह कहते हैं।
(iv) एक वर्ग आव्यूह B = [bij]n×n विकर्ण आव्यूह (Diagonal matrix) कहलाता है यदि विकर्ण के अतिरिक्त इसके सभी अन्य अवयव शून्य होते हैं अर्थात् एक आव्यूह B = [bij]n×n विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि bij = 0 जब i ≠ j हो।
(v) एक विकर्ण आव्यूह, अदिश आव्यूह (Scalar matrix) कहलाता है यदि इसके विकर्ण के अवयव समान होते हैं, अर्थात् एक वर्ग आव्यूह B = [bij]n×n अदिश आव्यूह कहलाता है यदि bij = 0 जब i ≠ j, bij = k जब i = j जहाँ k कोई अचर है।
(vi) एक वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण को सभी अवयव एक होते हैं तथा शेष अन्य सभी अवयव शून्य होते हैं, तत्समक आव्यूह (Identity matrix) कहलाता है।
दूसरे शब्दों में, वर्ग आव्यूह A = [aij]n×n एक तत्समक आव्यूह है यदि aij = 1 जब i = j हो तथा aij = 0, जब i ≠ j हो।
(vii) एक आव्यूह, शून्य आव्यूह या रिक्त आव्यूह कहलाता है यदि इसके सभी अवयव शून्य हों। हम शून्य आव्यूह को O द्वारा निरुपित करते हैं।
(viii) दो आव्यूह A = [aij] तथा B = [bij] समान कहलाते हैं यदि