सिद्ध कीजिए कि कथन यदि x एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि 
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा (ii) विरोधोक्ति द्वारा (ii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा।
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Answer:
Step-by-step explanation:
p: यदि x एक वास्तविक संख्या है जैसे कि x ^ 3 + 4x = 0, तो x की क़ीमत 0 है।
मान लो q : यदि x एक वास्तविक संख्या है जैसे कि x ^ 3 + 4x = 0, तो r. x की क़ीमत 0 है।
(i) यह बताने के लिए कि कथन p सत्य है, हम मान लेते हैं कि q सत्य है और फिर यह प्रदर्शित करता है कि r सत्य है।
=> इसलिए, कथन q को सत्य होने दें।
∴ x^3 + 4x = 0 x (x^2 + 4) = 0
=> x = 0 या x^2 + 4 = 0
हालाँकि, x वास्तविक है, यह 0 है।
=> इस प्रकार, कथन r सत्य है। इसलिए, दिया गया कथन सत्य है।
(ii) विरोधाभास द्वारा कथन p को सत्य दिखाने के लिए, हम मानते हैं कि p सत्य नहीं है।
=> मान लो के x एक वास्तविक संख्या है जैसे कि x ^ 3 + 4x = 0 हो और मान लो के x का मान 0 नहीं है।
=> इसलिए, x^3 + 4x = 0 x (x^2 + 4) = 0 या x^2 + 4 = 0 x = 0 या
x^2 = -4
=> हालाँकि, x वास्तविक है। इसलिए, x = 0, जो एक विरोधाभास है क्योंकि हमने मान लिया है कि x का मान 0 नहीं है।
=> इस प्रकार, दिया गया कथन p सत्य है।
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा p को सही साबित करने के लिए, हम मानते हैं कि r गलत है और यह साबित करना है कि q गलत होना चाहिए।
=> यहाँ, r गलत अर्थ में है कि कथन r की उपेक्षा पर विचार करना आवश्यक है।
=> इस से निम्नलिखित कथन प्राप्त होता है।
〜 r. x का मान 0 नहीं है।
=> यह देखा जा सकता है कि (x ^ 2 + 4) हमेशा धनात्मक रहेगा।
=> x ≠ 0 का तात्पर्य है कि x के साथ किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या का गुणनफल शून्य नहीं है।
=> आइए (x ^ 2 + 4) के साथ x के उत्पाद पर विचार करें।
∴ x (x^2 + 4) ≠ 0
=> x^3 + 4 ≠ 0
इससे पता चलता है कि कथन q सत्य नहीं है।
=> इस प्रकार, यह साबित हो गया है कि,
〜 r => 〜 q
=> इसलिए, दिया गया कथन p सत्य है।