Question

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय है :
1/√2​

Answer 1

Answer:

सबसे पहले इसका उलटा मान लेते हैं; यानि मान लेते हैं कि

√

5

एक परिमेय संख्या है।

ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;

√

5

=

a

b

या,

b

√

5

=

a

दोनों तरफ का वर्ग करने पर यह समीकरण मिलता है;

5

b

2

=

a

2

इसका मतलब है कि a2 5 से डिविजिबल होगा और इसलिये a भी 5 से डिविजिबल होगा।

लेकिन यह हमारी पहले के मान का विरोधी है कि a और b कोप्राइम हैं, क्योंकि हमें 5 के रूप में a और b का कम से कम एक कॉमन फैक्टर मिल गया है।

यह हमारे पहले मानी हुई संभावना कि

b

√

5

प्रमेय संख्या है का भी विरोधाभाषी है।

इसलिए एक

b

√

5

अप्रमेय संख्या है सिद्ध हुआ।

Answer 2

$\huge\underline\frak{\fbox{Question :-}}$

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय है :

$\bigstar$1/√2

$\huge\underline\frak{\fbox{AnSwEr :-}}$

$\implies$ 1/√2 अपरिमेय है।

Step-by-step explanation: $<font \: color=purple >$

माना 1/√2 है परिमेय है।

∴ 1/√2 = a/b

या a/b = 1/√2 x √2/√2=√2/2

या √2 = 2a/b .............(1)

चूंकि a तथा b पूर्णाक है b/a

∴ 2a/b परिमेय है।.........(2)

इसलिए (1) तथा (2) से √2 एक परिमेय संख्या है परंतु √2 एक अपरिमेय संख्या है। इससे यह पता चलता है कि हमारी धारणा गलत है।

∴ 1/√2 अपरिमेय है।