सिद्ध कीजिए किसी भी बराबर भुजाओं वाले त्रिभुज में उनके सामने के कोण बराबर होते है
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सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं।
समान संख्या वाली भुजाओं के बहुभुज समरूप होते हैं, यदि:
उनके संगत कोण बराबर हों।
उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों।
यदि किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर रेखा इस तरह से खींची जाए कि वह अन्य दो भुजाओं को निश्चित बिंदुओं पर काटती हो तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित होती हैं।
यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो यह रेखा त्रिभुज की तीसरी भुजा के समांतर होती है।
किसी भी दो त्रिभुजों में यदि संगत कोण बराबर होते हैं, तो उनके अंतर्गत की भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं; और दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण किसी अन्य त्रिभुज के दो कोणों के बराबर होते हैं, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
अगर किसी दो त्रिभुज में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात मं होती हैं, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं, और दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
यदि किसी त्रिभुज का एक कोण किसी अन्य त्रिभुज के एक कोण के बराबर होता है, और इस कोण के अंतर्गत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लम्ब खींचा जाये तो उस लम्ब के दोनों ओर बने त्रिभुज आपस में समरूप होते हैं और सम्पूर्ण त्रिभुज के भी समरूप होते हैं।
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Proof
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