Question

सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।

Answer 1

नीचे दिए गए चित्र को ध्यान से देखें , यहाँ प्रश्नुसार दो समरुप त्रिभुज को दर्शाया गया है जहाँ AD माध्यिका है त्रिभुज ABC के BC भुजा पर, और PM माध्यिका है त्रिभुज PQR के QR भुजा पर ।

हमे सिद्ध करना है कि, ar(∆ABC)/ar(PQR) = AD²/PM²

प्रमाण : चूंकि, AD माध्यिका है BC पर,
इसीलिए, BC = 2.BD,
इसी प्रकार QR = 2.QM ,

चूंकि, ∆ABC $\sim$ ∆PQR
इसीलिए, AB/PQ = BC/QR = AC/PR
अब, AB/PQ = 2.BD/2.QM = AC/PR
AB/PQ = BD/QM = AC/PR ......(1)

अब, ∆ABD और ∆PQM से,
$\angle{ABD}=\angle{PQM}$ [ चूँकि ABC और PQR दोनो समरुप त्रिभुज है ]
समीकरण (1) से,
AB/PQ = BD/QM
SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता के कसौटी के आधार पर,
∆ABD $\sim$ ∆PQM
अतः AB/PQ = AD/PM = BD/QM
या, AB/PQ = AD/PM = (2.BD)/(2.QM)
या, AB/PQ = AD/PM = BC/QR ......(2)

हम जानते हैं कि दो समरुप त्रिभुज का अनुपात , संगत भुजा के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है ।
इसीलिए, ar(∆ABC)/ar(PQR) = AB²/PQ² = BC²/QR² = AC²/PR².......(3)

अब, समीकरण (2) और (3) से,
ar(∆ABC)/ar(PQR) = AD²/PM²