Question

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम एक अद्वितीय सीमा की ओर
अभिसरित होता है।
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Answer 1

Answer: प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम एक अद्वितीय सीमा की ओर अभिसरित होता है।इसका अर्थ है कि L1 − L2 = 0 ⇒ L1 = L2 , और इसलिए अनुक्रम की दो भिन्न सीमाएँ नहीं हो सकतीं। . इस ϵ के लिए, चूँकि a L1 में अभिसरण करता है, हमारे पास एक सूचकांक N1 मौजूद है जिससे कि |an −L1| < ϵ n>N1 के लिए। उसी समय, a L2 में परिवर्तित हो जाता है, और इसलिए एक सूचकांक N2 होता है ताकि |an −L2| < ϵ n>N2 के लिए।

Step-by-step explanation:

प्रत्येक अभिसारी क्रम परिबद्ध है। सबूत। मान लीजिए (sn) एक अनुक्रम है जो s ∈ R में परिवर्तित होता है। परिभाषा को ε = 1 पर लागू करते हुए, हम देखते हैं कि N ∈ N ऐसा है कि किसी भी n>N, |sn −s| < 1, जिसका मतलब है कि |sn|≤|s|+1 ।

अभिसरण और अनुवर्ती। एक अभिसरण अनुक्रम का प्रत्येक अनुवर्ती मूल अनुक्रम के समान सीमा तक अभिसरण करता है । बाद की सीमाएं और लिम इंफ / लिम सुप। प्रत्येक अनुवर्ती सीमा नीचे lim inf से परिबद्ध होती है और ऊपर lim sup द्वारा परिबद्ध होती है।

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