सिद्ध कीजिए कि वृत्त के दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच खींची गई एक अन्य स्पर्श रेखा का अंतः खंड, केंद्र पर समकोण अंतरित करता है
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दिया है : वृत्त जिसका केंद्र O है। इसकी दो समान्तर स्पर्श रेखाएं PQ तथा RS हैं। QS एक अन्य अपर्ष रेखा है जो PQ को Q तथा RS को S पर मिलती है।
सिद्ध करना है : ∠QOS = 90°
उपपत्ति : ∵ PQ तथा RS समान्तर स्पर्श रेखाएं हैं
∴ POA वृत्त का एक व्यास होगा (∵ वृत्त में दो समान्तर स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा वृत्त का व्यास होती है)
और OA ⊥ PQ (∵ स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लांब होती है)
OC ⊥ QS (∵ स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लांब होती है)
समकोण ΔOAQ और ΔOCQ में
OQ = OQ (उभयनिष्ठ)
OA = OC (वृत्त की त्रिज्या)
अतः ΔOAQ ≅ ΔOCQ
∴ ∠AOQ = ∠COQ
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
∠BOS = ∠COS
अब, ∠AOQ + ∠COQ + ∠BOS + ∠COS = 180°
या, ∠COQ + ∠COQ + ∠COS + ∠COS = 180°
या, 2∠COQ + 2∠COS = 180°
या, 2(∠COQ + ∠COS) = 180°
या, ∠COQ + ∠COS = 90°
या, ∠QOS = 90° (इति सिद्धम्)
आशा है यह उत्तर आपके लिए उपयोगी होगा।
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