सिद्ध कीजिए कि y=log(1+x) - \frac{2x}{2+x} , x> - 1 अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वृद्धिमान फलन है।
Answers
Given : y = log(1 + x) - 2x/(1 + x)
To find : x> - 1 अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वृद्धिमान फलन है।
Solution:
y = log(1 + x) - 2x/(2 + x)
dy/dx = d( log(1 + x))/dx - 2 d(x/(2 + x))
=> dy/dx = 1/(1 + x) - 2( -x/(2 + x)² + 1/(2 + x) )
=> dy/dx = 1/(1 + x) - 2 (-x + 2 + x) /(2 + x)²
=> dy/dx = 1/(1 + x) - 2(2) /(2 + x)²
=> dy/dx = 1/(1 + x) - 4/(2 + x)²
=> dy/dx =( ( 4 + x² + 4x) - 4 - 4x) / (1 + x)(2 + x)²
=> dy/dx = x² / (1 + x)(2 + x)²
=> dy/dx = (x/(2 + x))² / (1 + x)
वृद्धिमान फलन है यदि dy/dx > 0
(x/(2 + x))² हमेशा धनात्मक
dy/dx > 0 यदि 1/(1 + x) > 0
1 + x > 0
=> x > - 1
इति सिद्धम
y = log(1 + x) - 2x/(1 + x) x> - 1 अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वृद्धिमान फलन है।
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