Question

सिद्ध कीजिएः tan(450 – A/2) = CosA /(1+sinA)

Answer 1

$\tan(45-\dfrac{A}{2})=\dfrac{cos A}{1+\sin A}$, सिद्ध

Step-by-step explanation:

सिद्ध कीजिएः $\tan(45-\dfrac{A}{2})=\dfrac{cos A}{1+\sin A}$

L.H.S. = $\tan(45-\dfrac{A}{2})$

=$\dfrac{ \tan 45-\tan \dfrac{A}{2}}{1+\tan 45. \tan \dfrac{A}{2}}$

त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हुए,

$\tan (A-B)=\dfrac{ \tan A-\tan B}{1+\tan A.\tan B}$

= $\dfrac{1-\tan \dfrac{A}{2}}{1+\tan \dfrac{A}{2}}$

= $\dfrac{1-\dfrac{\sin \dfrac{A}{2}}{\cos \dfrac{A}{2}} }{1+\dfrac{\sin \dfrac{A}{2}}{\cos \dfrac{A}{2}}}$

=$\dfrac{\cos \dfrac{A}{2}-\sin \dfrac{A}{2}}{\cos \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{A}{2}}$

अंक और भाजक को युक्तिसंगत बनाने से हमें प्राप्त होता है

=$\dfrac{\cos \dfrac{A}{2}-\sin \dfrac{A}{2}}{\cos \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{A}{2}}\times \dfrac{\cos \dfrac{A}{2}-\sin \dfrac{A}{2}}{\cos \dfrac{A}{2}-\sin \dfrac{A}{2}}$

$= \dfrac{(\cos \dfrac{A}{2}-\sin \dfrac{A}{2})^2}{\cos^2 \dfrac{A}{2}-\sin^2 \dfrac{A}{2}}$

त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हुए,

$\cos A=\cos^2 \dfrac{A}{2}-\sin^2 \dfrac{A}{2}$

$= \dfrac{\cos^2 \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{A}{2}-2\cos \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{A}{2}}{\cos A}$

$= \dfrac{1-\sin A}{\cos A}$

=$\dfrac{1-\sin A}{\cos A}\times \dfrac{1+\sin A}{1+\sin A}$

$= \dfrac{1-\sin^2 A}{\cos A}\times \dfrac{1}{1+\sin A}$

$= \dfrac{\cos^2 A}{\cos A}\times \dfrac{1}{1+\sin A}$

$=\dfrac{cos A}{1+\sin A}$

= R.H.S., सिद्ध