Question

सिद्ध कीजिये कि दो प्रसामान्य उपसमूहों का सर्वनिष्ठ एक प्रसामान्य उपसमूह होता है।​

Answer 1

एक समूह के दो उपसमूहों के प्रतिच्छेदन फिर से एक उपसमूह है।

Step-by-step explanation:

साबित करना :

सिद्ध कीजिए कि एक समूह G के दो उपसमूह का प्रतिच्छेदन फिर से G का उपसमूह है।

सबूत :

H1 और H2 को G के दो उपसमूह बनाते हैं।

फिर,

H1 ∩  H2  ≠  ∅

चूंकि कम से कम पहचान तत्व ’e’ H1 और H2 दोनों के लिए सामान्य है।

यह साबित करने के लिए कि एच 1 2 एच 2 एक उपसमूह है, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है।

  a ∈ H1 ∩ H2 ,  b ∈ H1 ∩ H2

⇢ a b-1 ∈ H1 ∩ H2

Now,

  a ∈ H1 ∩ H2  

⇢ a ∈ H1  और a ∈ H2

  b ∈ H1 ∩ H2

⇢ b ∈ H1   b ∈ H2

चूंकि H1 और H2 उपसमूह हैं।

इसलिए,

   a ∈ H1  ,  b ∈ H1

⇢  ab-1 ∈ H1  

 और  

  a ∈ H2 ,  b ∈ H2

⇢ ab-1 ∈ H2

इस प्रकार,    

  ab-1 ∈ H1 और  ab-1 ∈ H2

⇢ ab-1 ∈ H1 ∩ H2

H1 and H2 G का एक उपसमूह है और इसलिए साबित हुआ।