Question

सिद्ध करे कि रूट 3 एक अपरिमेय संख्या है

Answer 1

सबसे पहले इसका उलटा मान लेते हैं; यानि मान लेते हैं कि √3 एक परिमेय संख्या है।
ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b कोप्राइम होंगे, ताकि;
√3 = a/b
या, b√3 = a

दोनों तरफ का वर्ग करने पर यह समीकरण मिलता है;
3b2 = a2
इसका मतलब है कि a2 3 से डिविजिबल होगा और इसलिये a भी 3 से डिविजिबल होगा।
लेकिन यह हमारी पहले के मान का विरोधी है कि a और b कोप्राइम हैं, क्योंकि हमें 3 के रूप में a और b का कम से कम एक कॉमन फैक्टर मिल गया है।
यह हमारे पहले मानी हुई संभावना कि b√3 प्रमेय संख्या है का भी विरोधाभाषी है।
इसलिए एक b√3 अप्रमेय संख्या है सिद्ध हुआ

Answer 2

Answer:

The proof is explained step-wise below :

Step-by-step explanation:

To prove : √3 is irrational

Proof : We will prove this by using contradiction

Assume √3 is rational that is it can be expressed as a rational fraction of the form :

$=\frac{b}{a}$

where a and b are two relatively prime integers.  

$\text{Now, since }\sqrt{3}=\frac{b}{a}\\\\3=\frac{b^2}{a^2}\\\\\implies b^2=3\cdot a^2$

Now consider two cases :

CASE 1 : Let a is even

Then a² is even and 3·a² is also even

Therefore, b² is even ⇒ b is even

However, two even numbers cannot be relatively prime, so √3 cannot be expressed as a rational fraction. So, we get a contradiction and thus our assumption is wrong.

CASE 2 : Let a is odd

Then a² is odd and so 3·a² is also odd

⇒ b² is odd and b is also odd

Now, both a and b are odd. Taking a = 2·m - 1 and b = 2·n - 1 for m,n ∈ N

b² = 3·a²

⇒ (2·n - 1)² = 3·(2·m - 1)²

⇒ 4n² + 1 - 4n = 12m² + 3 - 12m

⇒ 4n² - 4n = 12m² + 2 - 12m

⇒ 2n² - 2n = 6m² + 1 - 6m

⇒ 2(n² - n) = 2(3m² - 3m) + 1

Now, LHS is even and RHS is odd so this is also contradiction.

Hence, √3 is irrational number.

Hence Proved.